Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
вещественны. Но если не наложить на элементы матрицы М определенных
ограничений, нет никаких гарантий вещественности остальных шести корней
многочлена F{c\ М). Это затруднение, тем не менее, легко разрешить
следующим образом. Предположим, что с ф 0, и исключим 6v_l из уравнений
(5.10.12) - (5.10.14) при помощи (5.10.15), чтобы получить систему
уравнений, содержащую только 6f и 6ВХ. Далее, исключив 6Bj_ из этих
уравнений, получим следующее матричное уравнение, содержащее только 6f:
[c2/3-<P(f, B)]6f = 0, (5.10.19)
298
Гл. 5. Упругие проводники
где /3 - единичная матрица 3X3, 6f - вектор-столбец, а 0(f, В)- следующая
симметричная матрица 3X3:
<P(f, В) =
<Pff + 2ср?Л^2 2ф^/3 -
(r)i В,ВЪ
HoPo(l+fi) ИоРо (1 + )i) РоРо 0 + Ы
2фfN?2 ^ ^ 2ф^ + 4фЛ№/1 -)- 4фл,дг/:J3
~ И-оРо (1 +h) +Б?/^оРо(1 +fi)
2ф^3 ~ 4ф^2f 3 2ф^ -|- 4фул,/3 -{-
Р0Р0О//1) "b^i/H-oPoO "1" ^i) J
(5.10.20)
Можно заметить, что система уравнений (5.10.19), (5.10.12) и (5.10.15)
полностью эквивалентна системе уравнений:
(5.10.12) - (5.10.16). Поэтому из (5.10.19) следует, что система
уравнений (5.10.12) - (5.10.16) имеет только вещественные скорости
распространения возмущений тогда и только тогда* когда матрица Ф(!, В)
положительно определенная (т. е" Фа в) !> 0). Напомним, что симметричная
матрица положительно определенная тогда и только тогда, когда все ее
главные миноры положительны. В дальнейшем всегда будем считать, что
Ф(1, В)>0. (5.10.21)
Для одномерного волнового движения немагнитной упругой среды условие Q(f,
0)> 0 известно как условие Адамара (см.* например, книгу (Truesdell,
Noll, 1965]). Важно отметить, что
(5.10.21)-более слабое условие, чем условие Адамара. Это означает, что
гиперболическая система в отсутствие магнитных полей остается
гиперболической и при их наличии. Действительно, из рассмотрения
(5.10.20) следует, что <D(f, В)=Ф(Т 0)-(-+ Ф(0, В). Но также легко
видеть, что Ф(0, В)-неотрицательно определенная матрица [Ф(0, В)^0].
Поэтому, если Ф(1 0) - положительно определенная матрица, то таковой
будет и ф^, в). Побочным результатом этого рассмотрения является тот
факт, что скорости распространения возмущений в теории идеальной
магнитоупругости имеют не меньшие значения, чем соответствующие
первоначальные скорости обычной теории упругости.
Мы теперь должны определить скорости распространения возмущений и
движения разрывов, переносимых волновыми фронтами. Имея в виду приложения
к изучению ударных волн,
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики 299
будем следовать работе [Bazer, Ericson, 1974]; сосредоточим внимание на
частном случае, когда В и f линейно зависимы. Будем полагать /3 = Вз = 0,
так что В = S2e2 и f = /2е2. В этом случае условие (5.10.21) ведет к
следующим неравенствам:
в\
ф?? + ИоРоО+М > °'
+ PoPod+ft) ] [2флг + 4ф^2 + 7"р0(1 +/,) ] ~ Р! > °>
(5.10.22)
где мы положили
2ф" + РоРоО+М > °'
(5Л0-23)
В дополнение к неравенствам (5.10.22) предположим безобидное условие, что
Р22>0. (5.10.24)
Случаи с ф 0 и с = 0 рассматриваются отдельно.
А. Случай с ф. 0
Из уравнения (5.10.26) следует бт^ = 0, а остальные уравнения
распадаются на две несвязанные системы уравнений:
0 = -с (I + fi) 653 - B{dv3,
0 = - с 6Од - 2фдг/з - бБ3, (5.10.25)
роРо
о = - С б/з - бо3;
О - -с [(1 + /i) 6В2 - В2 б/ j] Б) бо2,
О == -с бО] - фд,^ б fi 2ф fNf 2 6f2 + ^оро йВ2, (5.10.26)
б = - с 6о2 - 2ф,у 6/2 - (2фш б/i + 4ф,у^/2 б/2) - 6В2
0 - - с 6f2 - бо2.
Прямое вычисление показывает, что система (5.10.25) для величин (б/g боз,
бБз} имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда
Bl !К 10 074
300
Гл. 5. Упругие проводники
а система (5.10.26) для остальных ненулевых компонент имеет нетривиальное
решение тогда и только тогда, когда
Корни последнего уравнения объединяются в пары с = ±с'у с' > 0. Пусть cs
(S от slow - медленный) и cF (F от fast - быстрый) обозначают наименьший
и наибольший положительные корни уравнения (5.10.28), и пусть с, (/ от
intermediate- промежуточный)-положительное решение уравнения (5.10.27).
Чтобы упростить запись, введем обозначения
D = (q>f + Ъ\ + 2ф" + 4фNNf22 + Ь2)2 -
- 4 [(ф" + Щ) (2ф" + ^NNfl + ft?) - Р2] =
- (q>ff + Ь\- 2(fN - 4ф^|- bff + 4PI (5.10.33)
Согласно неравенству (5.10.24), оба множителя в произведении в левой
части уравнения (5.10.28) имеют один и тот же знак, так что мы необходимо
имеем следующие неравенства:
Нетрудно показать справедливость всех этих неравенств па крайней мере для
достаточно малых значений f2.
Так как с ф 0, то мы имеем дело с бегущими разрывами. Значения величин на
разрывах находятся подстановкой ско-
(5.10.28)
, b2 = b2 + b2. (5.10.29)
Тогда уравнения (5.10.27) и (5.10.28) имеют решения
С/ = [2ф" + &?]1/2>
cs = ['/2 (<Pff + 2фдг + 4yNNft + b2 - УТ) )]1/2, cf - ['/2 (<Pff + 2фдг
+ 4yNNfl -+¦ Ь2 + д/Z) )]1/2;
(5.10.30)
(5.10.31)
(5.10.32)
здесь
< min [(Ф" + ft*)'/', (с2 + 4ФNNfiy"} <
<max[(Vff + ^, (cH^NNft)I/2]<cF- (5.10.34)
Если, кроме того,
