Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
умножив последнее уравнение (5.12.22)
на <В2>, получим
4Bl] = -[fi)(C2-?l)Wo- (5-12.23)
Так как в быстрых ударных волнах [fx] < 0 и Cf^?2l (это следует из
последнего неравенства (5.12.21)), то можно заключить, что модуль
касательного магнитного поля за удар--ной волной | Bt | больше модуля той
же величины | ВХ | перед ¦волной.
Далее, сначала отметим, что для вещественности Cs и CF необходимо
выполнение аналога условий (5.10.22). В данном случае это неравенство
имеет вид
4 +--------п \\ =4-иТГГ +-------7Т~Г7Г\Г > 0 (5-12.24)
L РоРо (1 + (fl)) L [fl] PoPo (1 + (ft))
и удовлетворяется автоматически. Из (5.12.20) следует, что
С|<4, (5.12.25)
если
С1>с2т. (5.12.26)
Первое неравенство требует, чтобы |Bl|<iBX| в медленных ударных волнах в
силу (5.12.23). Чтобы доказать неравенство
(5.12.26), положим Я2 = С2 - с| и подставим выражение для •С2 в
(5.12.19); в результате получим
¦0 - Я4 [с2 (С1 + ИоР'(1+^)) )]^2 + (4 4)
Bi
РоРо (1 + (fl)) (5.12.27)
Но, согласно условию (это условие удовлетворяется автоматически при х >
0)
?1>с\, (5.12.28)
¦величина (с2 - 4). положительна. Следовательно' оба корня уравнения
(5.12.27), рассматриваемого как квадратное относительно X2, положительны;
тогда и Я| = С2- с\ положительно. Следовательно, установлена
справедливость неравенства
(5.12.15). Таким образом, доказано, что в медленных ударных ¦волнах | Вх
| < | BJ | с возможным ограничением, когда сжатие -мало в случае
гуковских материалов с х < 0, т. е. материалов ¦сжимающихся при
увеличении температуры.
Укажем в заключение, что из соотношений (5.12.21), уравнения во второй
строке (5.12.22) и результата [fi] < 0 еле-
§ 5.12. Классификация ударных волн в магнитоупругих средах 31$
дует
sign [/2] = =F sign (5j (Ба":
(5.12.29)
здесь знак минус соответствует медленным ударным волнам,, а плюс -
быстрым. Можно заключить, что в медленных ударных волнах вектор [*±]
антипараллелен или параллелен <Вх> в зависимости от того, положительно
или отрицательно Ви В быстрых ударных волнах [fj_] параллелен или
антипараллелен <Вх> в зависимости от того, положительно или отрицательно
В\.
С. Ударные волны включения и выключения
Эти два частных типа ударных волн сжатия фактически являются предельными
формами быстрых и медленных ударных волн. Волны включения - это волны,
перед которыми Вх равно нулю, но отличается от нуля за волновым фронтом.
Это-частный вид быстрых ударных волн, которые движутся со скоростью
промежуточной волны возмущения в среде за волной, т. е.
Такие ударные волны существуют тогда и только тогда, когда Вх = 0 и
Ударные волны выключения - это волны, за которыми Вх равно нулю, но
отличается от нуля перед волной. Это частный тип медленных ударных волн,
движущихся со скоростью поперечного возмущения в среде перед волной, т.
е.
Такие ударные волны существуют тогда и только тогда, когда
Подробное обсуждение скачков уплотнения в гуковских материалах частного
типа (и = = 0) можно найти в работе
[Bazer, Ericson, 1974], где дана также и приведенная здесь классификация
сильных разрывов в магнитоупругих средах. Эти же авторы рассмотрели общий
случай материалов, плотность энергии которых задается функцией <р(/ь N,
ц), а также исследовали плоские симметричные ударные волны.
C - ci= (ст + fii/p0Po(l + fi+))1/2- (5.12.30)
4 < (4)2 = 4 + я?/М> 0 + ft)]- (5.12.31)
С = с7 = {с\ + В\1[р оРо(1 +/Г)]Г- (5.12.32)
(5.12.33)
314
Гл. 5. Упругие проводники
-§ 5.13. Понятие простых волн
-А. Общее представление
Если все компоненты вектора состояния S = {Bj., f, v, tj} постоянны в
некоторой области пространства (х, t), то этот зектор S является решением
консервативных уравнений
(5.9.13) - (5.9.17), т. е. однородные, не меняющиеся во времени
состояния - решение этой системы уравнений. Следующими по сложности
решениями идут так называемые простые волны: непостоянное непрерывное
дифференцируемое решение является простой волной в области R пространства
(х, t), если все его компоненты, постоянны, вдоль линий из
однопараметрического семейства, покрывающих всю область R. Важность
решений в виде простых волн происходит от того обстоятельства, что
решение с непостоянными параметрами смыкается с решением с постоянными
параметрами обязательно через область, решение в которой - простая волна
[Jeffrey, Taniuti, 1964]. Пусть
1(a): х = c(a)t + а(а), ае[с,, сг2] (5.13.1)
- линии искомого однопараметрического семейства линий {/(а)} с параметром
а. Функции с (о) и а (а) должны быть дифференцируемыми по о. Другие
условия будут сформулированы ниже. Чтобы разрешить уравнение (5.13.1)
относительно ¦о и получить а = д (х, t), необходимо
A (a, t) = с' (a) t + a! (t) Ф 0, а е [аь сг2]; (5.13.2)
штрихи здесь обозначают дифференцирование по а. Условие .A (a, t)= 0
выражает то обстоятельство, что семейство линий {/(а)} имеет огибающую. В
начальные моменты времени, когда зозникла такая огибающая, она имеет
форму заострения. Начиная с этого момента, решение в виде простой волны
