Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Начальное разложение фиксирует коэффициенты а0) на все последующие
моменты времени, так как разрывы, уносимые волновыми фронтами, имеют
постоянную интенсивность вследствие однородности невозмущенного
состояния. Это позволяет элементарно дать решение задач с достаточно
простыми начальными условиями, например в виде ступенчатых функций.
В заключение нужно отметить, что все моды, в которых 8В ф 0, переносят
поверхностные токи, касательные к волно-
304
Гл. 5. Упругие проводники
вому фронту. Это следует из условия на скачке, соответствующего уравнению
Максвелла VXH = //с, которое в проведенном здесь анализе не
использовалось. В обозначениях (3.2.75) плотность этих поверхностных
токов определяется формулой
= i!±ZileiX6B (j?-e, = 0). (5.10.50)
§ 5.11. Уравнение Гюгонио
А. Понятие об ударной волне
Ударная волна, или сильный разрыв,- это частный вид разрывного решения
уравнений из законов сохранения, часто также называемого "слабым"
решением. Магнитоупругая ударная волна - это математическая идеализация
гладкого (непрерывного и непрерывно дифференцируемого) решения системы
уравнений (5.9.12) - (5.9.17) из законов сохранения с добавленными
диссипативными членами, которое резко, хотя и гладко, меняется в слое
(интервал оси х) очень малой толщины по сравнению с другими характерными
размерами задачи. В частности, в диссипативном механизме (например, за
счет вязкости) обычной теории упругости нужно учесть омическое
тепловыделение из-за электрического сопротивления слоя. Вне этого слоя
решение можно считать практически удовлетворяющим недиссипативным
уравнениям из законов сохранения (5.9.12) - (5.9.17). Идеализация состоит
в рассмотрении переходного слоя как точки разрыва (для одномерного
движения) и замене системы уравнений из законов сохранения внутри слоя
системой соотношений на скачке в точке разрыва. Скачок полевой величины Q
при переходе через ударную волну W определяется классически по формуле
[Q] - Q+ - Q~ > (5.11.1)
где индекс "плюс" указывает на значение величины с той стороны W, которая
называется областью за ударной волной. Симметрично расположенная область,
обозначенная знаком "минус", называется областью перед ударной волной;
величина С - скорость распространения волны W в пространстве х (С > 0)
(напомним, что мы используем материальное описание). Соотношения на
скачках в теории магнитоупругости получаются простой заменой dtQ и dxQ на
-C[Q] и [Q] соответственно, a ei-d-rQ - на [ех - Q]. Этот способ -
следствие формализма для слабых решений, развитого для уравнений и
законов сохранения [Jeffrey, Taniuti, 1964]. В результате из системы
(5.9.12) - (5.9.17) получаем следующую систему соот-
§ 5.11. Уравнение Гюгонио 305
ношений на скачках:
0 = [5!] или Bt = B7 = Bv (5.11.2)
О = -С [(1 + /() Вх] - В\ [vjl], (5.11.3)
о = -РоС [v,] - [тп - |L] , (5.11.4)
О = - р0С [vx] - [Ti х + ~- Вх]. (5.11.5)
0 = -C(f1]-[v1], (5.11.6)
О = -C[i±]-[v1], (5.11.7)
0 = -Роф + 4+1±Лв2]-
- [т, • V+^ ш + е> • (¦?¦:X (вхV))], (5.11.8)
а также условие Здесь
|C|fo]>0. (5.11.9)
(5.11.10)
= Ti • е, = роФ?, Tix = (Ti)x = 2р0фдг1х.
Скалярная величина
m = -р0С (5.11.11)
может интерпретироваться как поток массы через единицу площади ударной
волны из передней части области в заднюю. Сильные разрывы называются
ударными волнами, только когда С -ф 0; разрывы, соответствующие С = 0,
называются контактными разрывами. Условие на скачке (5.11.9) утверждает,
что энтропия за ударной волной больше или равна энтропии перед волной.
Это условие добавлено к соотношениям на скачках (5.11.2) - (5.11.8),
чтобы исключить термодинамически недопустимые решения: материальная
частица при прохождении через ударную волну претерпевает необратимые
изменения из-за диссипации внутри слоя ударной волны и поэтому
увеличивает значение энтропии.
Пусть комбинация
S± = {Bl, f*. у*, л*} (5.11.12)
характеризует состояние за (знак плюс) или перед (знак минус) ударной
волной. Соотношения (5.11.3) - (5.11.8) составляют девять уравнений для
десяти неизвестных: величины С и девяти компонент S+, если считать S~
заданным. В общем случае соотношения (5.11.3) - (5.11.8) определяют
однопараметрическое семейство состояний за ударной волной. Если мы
20 Ж. Можен
306 Гл. 5. Упругие проводники
обозначим через а, 0 < а < а0, типичный скачок на ударной волне
(например, [fi]), то любое решение
S+ = S+(a; S~), С - С(а\ S~) (5.11.13>
для состояния S+ за ударной волной и скорости С, которое (i) непрерывно
зависит от а и S- (например, непрерывно зависит от исходных параметров
среды) и (и) удовлетворяет энтро-пийному неравенству (это условие
исключает все "термодинамически" неустойчивые ударные волны), будет
рассматриваться как допустимое решение для ударной волны.
В. Соотношение Гюгонио в теории магнитоупругости
Сейчас мы покажем, что соотношение на скачке для энергии
(5.11.8) содержит в себе и само является следствием более простого
соотношения, так называемого соотношения Гюгонио, если учесть соотношения
