Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
А. Неуплотняющие неинтенсивные ударные волны
Это такие ударные волны, в которых
С.ф 0, [f,] = 0. (5.12.1)"
Исключив [V] из уравнений (5.11.5) при помощи соотношений
(5.11.6), (5.11.7) и заменив уравнение на скачке для энергии
соотношением Гюгонио, получим следующую эквивалентную систему соотношений
На ударной волне:
Bt = B7=Bu (5.12.2)"
0 = 0 + </,"[В J - <В±> [/,] - В, [!х], (5.12.3).
(> = <?[(,]-[ср, -gSy. (5.12.4)
0 = C2[fi] - [2?jvf х + -^ в J.], (5.12.5)
0 = [e] + (<p f) [/i] + 2 (фдг/г) [/2] +
+ 2(ф^3){/з] + [/,] [Bxl2/(4PoPo). (5-12.6) |С|[г)]>0, (5.12.7)
а также
о = -С [f,] - ы, 0 = -С [fxl - [vj. (5.12.8)
Для гуковских материалов уравнения (5.12.4) - (5.12.6) принимают вид
0 = (С2 - 4) [/,] + X [ц] + ТО/(2р0р0), (5.12.9)
0 = (С2 - 4) [fx] - В± [В J/(p0p0), (5.12.10).
0 = [л]2 + Y ([/,]) М + I/J [В±]2/(4роРо). (5.12.11)
Промежуточные ударные волны в гуковских материалах.
Предположив В\ Ф 0 и положив [/i] = 0 в сформулированных выше уравнениях
в "гуковской форме", получим
["|] = 0, [В2Х] = 0, [о,]=0,
С2 = с2, с2 =4(1 +е-),
[Bx] = B,[fi]/(l + fr), (5.12.12)
[vx] = -C[ fx].
310
Гл. 5. Упругие проводники
где
ея = ц0Я?/[р0(1 +П)с2т]. (5.12.13)
Очевидно, что только касательные компоненты В, v и { изменяются при
переходе через разрыв. В частности, при непрерывном вектор Вх может
претерпеть поворот. Так как этот тип разрыва движется с характерной
скоростью промежуточной волны в пределе слабых ударных волн (т. е. когда
| [Вх] I мало), то мы будем называть его промежуточной ударной волной.
Этот тип ударной волны является магнитоупругим аналогом альфвеновской
ударной волны в магнитогазодинамике [Jeffrey, Taniuti, 1964]. Когда
промежуточная волна ^движется через покоющуюся недеформированную среду
(т. е. f = v = 0), то вырабатываются поперечная деформация fj и
поперечная "скорость оба вектора параллельны [Bj.]. До сих пор
предполагалось В\ ф 0. Если В\ = 0, то промежуточная волна из теории
магнитоупругости сводится к поперечной "ударной волне" обычной теории
упругости.
В. Волны уплотнения в гуковских материалах
Сейчас рассмотрим случай С Ф 0, [fi] ф 0. Мы ограничимся рассмотрением
уплотняющих (т. е. допустимых) ударных волн, .для которых [fi] < 0.
Предположим, что ri+;>rp, т. е. ЫХ), и что В* и ft удовлетворяют
соотношению Гюгонио (5.11.21). Положим
4 = 4 - *N/[/i]- (5.12.14)
Тогда уравнения (5.12.3) и (5.12.9) - (5.12.11) записываются .в виде
0 = (1 + </," [В J + <ВХ> [h] - В, [f х], (5.12.15)
0 = (С2 - 4) [/,] + [В21]/(2ц0р0), '(5.12.16)
0 = (С* - 4) [fj - В, [В J/(|xoPo), (5.12.17)
0 = [л]2 + Y ([/.]) Ы + [/,] [Вх]2/(4р0р0). (5.12.18)
Если заменить [Вх], [fx], [fj], [ц], <ВХ>, (/,), с\, с\ и С2
соответственно на 6ВХ, 6fx, б/i, бтр Вх, fb cl, ст и с2, то система
(5.12.5) - (5.12.18) приводится к линейной системе (5.10.25),
(5.10.26), записанной для гуковских материалов. Поэтому результаты,
полученные в § 5.10, справедливы и для системы
(5.2.15) - (5.12.18). Без потери общности можно считать, что вектор
<ВХ> параллелен или антипараллелен оси х2, т. е. <Bi>=<B2>e2. Тогда можно
заключить, что система (5.12.15) - :(5.12.18) имеет нетривиальные решения
в виде волн уплотне-
§ 5.12. Классификация ударных волн в магнитоупругих средах 31Ё
ния тогда и только тогда, когда С является корнем одного из-двух
следующих эквивалентных уравнений:
0 = { С(r) " (*? + ЦоРо 0+<?!") } {°2 " + РоРо (!+</.") } ~
(5.12.19)-'
О = (С2- с\) {с2 - (с| + --ро(, + {h)))] -
-ic2-c2r)j^Tш (5Л2-20>
(ср. с уравнением (5.10.28)). Пусть СР (У7 (fast)-быстрый) и Cs (S
(slow)-медленный) обозначают наибольший и наименьший неотрицательные
корни уравнения (5.2.19) или (5.12.20).. В результате имеем (ср. с
(5.10.34))
С|< min{с\ + с2г+р0Ро(1+^."}<
< max i с2, + п /f w' ' сг + ¦¦ n л -4-/f \\ 1 ^ Ср> (5.12.21)" I 1
^oPo(1+((i>) т **оРо (! + Vi" J
где строгое неравенство имеет место в крайних левом и правом
соотношениях, когда Bi<B2> ф 0. В соответствии с четырьмя корнями ±Cf и
±Cs уравнения (5.12.29) или (5.12.20) мы. получаем пары медленных и
быстрых волн, описываемых системой (5.2.15) - (5.2.18). Эти решения имеют
вид (предполагается <В2> Ф 0)
о = т, 0 = [В3], 0 = [/3], N>0,
,п ,nc!-4-W>.p.(i+(li" (5 1222.
U2I- l/ll R,/R"\/-Wf.YH ' (0.12.22)?
в 1 <B3>/lHoPo(l+<fi"] [/.] С2-cl
1 +tfi> (B2>/[HoPo(l+(f."l '
где С = ±CF или С = ±Cs в соответствии с тем, быстрая или медленная
ударная волна. Уравнения (5.12.22) непосредственно следуют из (5.19.39),
если заменить а на [fi] и учесть сформулированную выше зависимость для
гуковских материалов.. Предполагалось, что векторы <Вх> и е2 линейно
зависимы. Второе уравнение (5.12.22) показывает, что это же справедливо и
в отношении векторов е2 и [Bj.]. Следовательно, векторы <B_l>, [BJ, Bl и
ВТ попарно линейно зависимы. В частности,, если ни BI, ни Вх не равны
нулю, то векторы Вх, [Вх] и (Вх)* параллельны или антипараллельны ВХ.
312 Гл. 5. Упругие проводники
Другие интересные свойства можно вывести следующим ¦образом. Во-первых,
