Механика электромагнитных сплошных сред - Можен М.
ISBN 5-03002227-9
Скачать (прямая ссылка):
Флглг>0 (или Флглг<0),
(5.10.35)
(5.10.36)
(5.10.37)
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики
301
ростей (5.10.30) - (5.10.32) в системы (5.10.25) и (5.10.26), Таким
образом, находим следующие выражения для 6S = ={б52, 553> 6/,, б/2, б/3,
боь бу2, dv3, drj} на промежуточных, медленных и быстрых волновых
фронтах.
На промежуточных волновых фронтах
6Дз = аВ, 651 = б В2 = 0,
б(3 = аД(-'+^ , б/, = б/2 = 0,
13 (5.10.38)
бОз=±С;б/з, бщ = бУ2 = 0, бт1 = 0, В *= (5? + Bt)112.
На медленных и быстрых волновых фронтах
до ________° ( (с2-%)Д1^2(Р^2 )
1 + X W[цоРо (1 + /,)] - 2Ф,"/2 / '
65] = 6В3 = 0, б fi==a,
(5.Ю.39)
I 1 ^[^оРо 0 + Л)] - )
б/з = 0, 6r) = 0,
б1>! = Т с 6/u 6u2==Fc6f2, би3 = 0,
где с заменяет cs или cF в соответствии с тем, является ли мода медленной
или быстрой. Для всех мод а - коэффициент интенсивности амплитуды,
определяемый из начальных условий.
Здесь можно сделать несколько замечаний относительно поляризации
различных мод. Если мы рассматриваем волновые фронты как плоскости,
перпендикулярные оси х, и предполагаем, что плоскость страницы
параллельна координатной плоскости (дГ), х2) (следовательно, параллельна
векторам В и f), то можно сказать, что вектор 6В параллелен волновому
фронту, т. е. 6В = 6Bj. для всех мод, в которых вектор 6Bj.
перпендикулярен плоскости страницы в промежуточных модах и вектор бВх
параллелен плоскости страницы в медленных и быстрых модах. Справедливость
этих замечаний не зависит от направления 6fj_ и 6vj.. Однако как в
медленных, так и в быстрых модах ни 6f, ни 6v не являются чисто
поперечными, как это может быть для 6В. Отметим в заключение, что
вследствие неравенств (5.10.34) величина 6/2/а для медленных и быстрых
волн имеет разные знаки. То же относится и к 6В2/а, когда f2 или В2
обращается в нуль.
Неогуковские материалы описываются уравнениями
(5.9.23) - (5.9.29). Если дополнительно предположить, что Bt стремится
к нулю при фиксированном В2= В0 = ро#о ^0 и
302
Гл. 5. Упругие проводники
что f 1 <С 1 (малые деформации), то соотношения (5.10.30) -
(5.10.33) примут вид
можно назвать параметром магнитного давления. Уравнение
(5.10.41) имеет типичную форму уравнения с возмущением, как и уравнения
(5.6.11). Результаты (5.10.41), (5.10.42) соответствуют формальным
выражениям для предельного случая, когда поперечное магнитное поле
параллельно волновому фронту. Для случая, когда В2 стремится к нулю при
фиксированном В\ = В0 = роЯо ф 0 (параллельное расположение), соотношения
(5.10.40), (5.10.41) заменяются соотношениями
В обоих случаях, описываемых соотношениями (5.10.40) и (5.10.43), Ci и cs
имеют одно и то же значение. Что же касает: ся бесконечно малых разрывов
5f и 6v, то они имеют такие же выражения, как и в обычной теории
упругости.
В. Случай с - 0
Здесь мы возвращаемся к тому месту, где предположение, что fx и Вх
линейно зависимы, еще не вводилось, и будем только полагать, что fx
параллельно оси х2. В этом случае характеристические уравнения (5.10.11)
- (5.10,16) имеют вид
0 = cpff бf, + 2ф?ЛДх • 6fх + cpfn бт) + Вх • бВх/р-оРо. (5.10.45) О =
2cpfwfx б/\ -(- 2ф,у 6fj_ + 4<pwwfx (fx • 6fx) +
эти уравнения представляют собой шесть линейно независимых условий на
девять компонент бS = {6В, 6f, 6v, бт)}. Поэтому собственному значению с
= 0 соответствуют три линейно независимых собственных вектора,
описывающих стационарные моды; эти моды вместе с шестью бегущими модами,
описанными в п. А, покрывают все множество решений характеристических
уравнений (5.10.17). Три такие линейно незави-
(5.10.40)
(5.10.41)
Характерный параметр гн, введенный по формуле
8я = Ро#о7(Ро4)>
(5.10.42)
С; - Cs - Ст, Ср - CL,
(5.10.43)
где
~с\ =-- 4(1+ ея) (здесь ея = |i0#o/(p04))- (5-10-44)
0 = 6v,
+ Фяч1 J. бт1 - в\ fiBx/PoPo;
§ 5.10. Движения с малой амплитудой и характеристики
303
симые стационарные моды обозначим через б S', i - 1, 2, 3. Они
соответствуют следующим бесконечно малым разрывам. Стационарная мода 1
6В = 0, 6f = 0, 6v = 0, бц = ац. (5.10.46)
Стационарная мода 2
ЬВ1 - б В2=0, б В3 = аВ,
= fi/2=0, б/з=а-^, (5.10.47)
6v = 0, бт1 = 0' (В = (В2 + в1)1/2) <?пф0, Ф 0). Стационарная мода 3
65, = 0, 6B2 = aB, дВ3 = 0 (В = (В\ + В^)1'2),
В2 (2ф^ + 441^(2) "Ь 25,ф^(2
б /] = - а В-
Ф/f (2фуу + Ф/ул^г) - 44>fjv(:
б/2 = аВ (g1<Pff + 2^fJv/2) ¦, (5.10.48)
*Pff (2Ф/у + ФыиЬ) ~ 4фfNf2 bf3 - 0, 6v = 0, 6ц = 0.
Решение (5.10.46) очевидно. Другие две моды (2 и 3) получаются, если
искать решение с нулевыми значениями 6ц, 6/г, бВ2, 6v (мода 2) и с
нулевыми значениями 6ц, б/3, 653, 6v (мода 3).
Каждая из девяти мод, описанных в п. А и В, имеет вид 8S = aR, где R -
девятимерный вектор, зависящий только от невозмущенного решения So, а a -
коэффициент интенсивности. Если 6S° = {6В(°\ 6f(0), 6v(0\ 6ц<0)} - скачок
в точке х0 в момент t = 0, то в момент можно записать
9
6S<°> = Z (5.10.49)
i=i
здесь суммирование ведется по всем девяти перечисленным допустимым модам.
