Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью отождествления мы можем переносить некоторые операторы из ф в $as и обратно. В частности, оператор L^1 HALA действует в фА и является там оператором умножения на функцию ЕА(рА). При А = 0 этот оператор действует как оператор умножения на функцию Е0(Р) =р\
§ 4. Волновые операторы
Введенные в двух предыдущих параграфах понятия и обозпачепия позволяют более точно и формализованно описать постановку задачи рассеяния из § 1 и сформулировать задачу ее обоснования.
Определение волновых операторов. В § 1 мы работали в гильбертовом пространстве L2(K3N) состояний всех частиц. Теперь мы заранее отделим движение центра инерции, так что нашим пространством состояний является То, что там называлось совокупностью связанных комплексов, теперь может быть названо детализованным разбиением А.
Волновой функции 4fA(r1, г2, rN, t) из (1.2) соответствует подпространство фА, и уравнение ШреДингера (1.3) определяет оператор эволюции
VA(t) = e-mAlPA. (1.19)
Ясно, что функция %А однозначно задается элементом /А из пространства канала фА, так что ее эволюцию можно
30 гл. i. общие положения теории рассеяния
задать также посредством оператора
иА(0 = Ь11ид(г) ьА,
который дается явной формулой
ил(0/(рА) = е"'Р^+1к1'/(рл).
Другими словами, асимптотическое состояние, соответствующее каналу реакции Л, имеет вид
• ч$(*) = ьАиА(*х/,
где / е фА. Существование предела
Нт||? (<)-^(01 = 0 (1.20)-
будет обеспечено,'если существует предел при ? ~> °о в сильном смысле у оператора
УАШ = еш%А\]АШ, (1.21)
действующего из ?и в ?>. Действительно, левую часть в (1.20) перепишем в виде
\\е-ш^0 - ь4иА(0/« = "^о -Ул(*)Л ¦
где = ЧЧ^Я^о. На последнем шаге мы использовали унитарность оператора ' е~тг. В результате (1.20) имеет место, если существуют операторы
и?>= Нт УАЦ), (1.22)
которые принято называть волновыми операторами. Выбор значков (±) операторов икоторые "отвечают пределам I +оо, сделан в соответствии с соглашением, принятым в физической литературе.
Собирая определения операторов- УАШ и иА(?), получим представление: и^:) = и^Ь^, где через обозначен оператор в.ф
и<±> = Нт е{Ше-иИАРА, , (1.23)
также называемый волновым оператором.
Итак, первый этап обоснования постановки задачи рассеяния из § 1 состоит в доказательстве существования волновых операторов.
Пространства «?>Уг\ которые следует сравнивать на втором этапе обоснования, составлены из объединения
§ 4. волновые операторы
31
областей значений операторов Таким образом, сле-
дует показать, что такое объединение корректно определено, и исследовать его строение. Таким определением мы займемся в первую очередь в следующем параграфе.
В -случае дальнодействия приведенные определения нуждаются в модификации. Изменяется определение оператора эволюции для каждого канала, содержащего заряженные связанные состояния. Через НА обозначим оператор умножения на функцию
Яав +\ ^2 ..2 , ^А (Ра) А (РА, І) = Ра — Ка + -1-,
где
. . • со/ .co7 .
г>з I ci lj
Здесь через q® обозначен полный заряд кластера со; суммирование ведется но всем кластерам детализованного разбиения А.
Оператор асимптотической эволюции дается формулой
UA(t) = ехр { — ipAt + inAt— isign 7JT]Aln| ^| }.
Определение волновых операторов получается из приведенного выше после замены оператора \JA(t) в (1.21) на UcA(t):
U?> = lim emtLAVcA (t)-. (1.25)
t-^ + 00
Эти волновые операторы мы будем также называть обобщенными (или кулоновскими) волновыми операторами.
Существование волновых операторов. Приступим к первому этапу обоснования постановки задачи рассеяния. Мы докажем сначала, что волновые операторы (1.22) существуют, если как потенциалы, так и преобразования Фурье квадратов потенциалов v2(k) являются гладкими ограниченными функциями.
Доказательство основано на следующем признаке.
Признак А. Пусть {/А} — множество гладких финитных функций, плотное в пространстве $А. Сильные пределы (1.22) при t-^oo (?->— оо) существуют, если функции
Фа(*)= |-Va(0/a
(1.26)
32 гл. i. общие положения теории рассеяния
ч
и оценим норму интеграла в правой части. По предполо-
жению интеграл ^ |-^[~ Уа (0/а|й? стремится к нулю Ч
при ?1? ?2 ~* Следовательно, 11УА(«0 - Ул(*.))/а11«о(1) при ?1э ?2 ±ос, так что сильные пределы Ит Уа (?) существуют.
Рассмотрим функцию <рА(*). Вычисляя производную, получим представление
Фл(0=1^лЬле-^'/л||, (1.27)
где через ул обозначен оператор, описывающий взаимодействие между кластерами детализованного разбиения А,
Ул = У-Уа. Оценим это выражение при больших
Рассмотрим сначала систему двух тел. В этом случае квадратичная форма Фа может быть записана в импульсном представлении в виде интеграла
Ф1 = | йрар'е1^-»'2^ (р - р') Ыр) /а (р'), (1.28)
где через v2(p — p') обозначено преобразование Фурье квадрата потенциала v2(x).
Подынтегральное выражение представляет собой быстро осциллирующую функцию при |?| оо. Мы будем называть такие интегралы быстро осциллирующими. Поведение последних может быть изучено с помощью метода стационарной фазы. В нашем случае функция V2(р — рг) является гладкой. Поэтому основной вклад порождается критическими точками р' = 0. Вычисляя этот вклад,
