Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
/ (к) = (2л)"п/21 ехр {- I (к, х)} / {х) йх.
Следуя соглашению в физической литературе, мы часто будем использовать одни и те же символы для функции и её преобразования Фурье, /(#) ^/(й) *> аргумент показывает, с чем именно мы имеем дело. Прямые буквы А, В, г, ... мы будем использовать для обозначения операторов. Их ядра мы будем обозначать через А (к, к'), В(к, к'), г(к, к'), ..,
Глава I
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
§ 1. Постановка задачи рассеяния
В этой книга мы будем рассматривать квантовомеха-ническую проблему N частиц. В основной части текста мы будем считать эти частицы нерелятивистскими, бесструктурными и взаимодействующими только попарно. Это простейшая ситуация является характеристической с точки зрения развиваемой теории; возможные обобщения не связаны с принципиальными трудностями.
Каждая частица характеризуется координатой г* ^ К3 и массой ти I = 1, 2, ..., N. Оператор энергии системы N частиц действует в гильбертовом пространстве Ь2(В?1*) функций х?(ги г2, Гн) координат и задается дифференциальным оператором
нлг = 2 — 2^г д* + 2 "а (г* — г*)-
г=1 1 г<з
Здесь Дг — трехмерный оператор Лапласа по координатам-а функции иц(г) — потенциалы парного взаимодействуя, зависящего от относительного положения г,- — г,- пары частиц с номерами г и /.
Мы будем рассматривать два типа парного взаимодействия и условимся называть их короткодействующим и далънодействующим.
В первом случае каждая функция иц(г) считается убывающей достаточно быстро при |г|-^°°. Конкретная скорость убывания может быть различной в зависимости от рассматриваемого конкретного утверждения. Типичное требование состоит в оценке
Мг) = 0(\г\~*-)9 8>0,
хотя для более детальных результатов требуется условие 8 > 1, 8 > 2 и даже более сильные.
Дальнодействующий потенциал отличается от короткодействующего тем, что содержит кулоповское
10
гл. г. общие положения теории рассеяния
слагаемое:
где Уц(г) — короткодействующий потенциал, а %ц — вещественная константа, универсальным множителем отличающаяся от произведения qiqi зарядов Частиц I и /: = ЧЬЪ-
Математически мояшо рассматривать и более общий тип далыюдействующего взаимодействия, однако кулонов-ский случай наиболее интересен, и мы им ограничимся. В связи с этим термины «нейтральные частицы» и «заряженные частицы» будут для нас синонимами коротко-действия и дальнодействия.
Короткодействующий потенциал может иметь сингулярности в конечной области; например, допускается особенность в точке г0 вида
При сформулированных условиях дифференциальный оператор Н^ определяет в ?2(КЗЛГ) самосопряженный оператор — оператор энергии системы N частиц.
Динамика квантовомеханической системы дается уравнением Шред;ингера
и описывается явно унитарным оператором эволюции ШїО = ехр {-ШлгЙ.
Задача рассеяния состоит в задании специальных начальных условий для уравнения Шредингера.
Идеализованная физическая постановка задачи рассеяния состоит в следующем: задолго до процесса рассеяния оо) состояние системы представляет собой совокупность далеко разведенных связанных комплексов частиц, которые свободно летят по направлению друг к другу. При конечных временах эти комплексы взаимодействуют, и затем при і -> оо снова возникают свободно разлетающиеся связанные комплексы, отличные, вообще говоря, от начальных. Перестройка комплексов, или изменение их внутреннего состояния, и составляет результат рассеяния.
В данной постановке состояние системы до рассеяния (?->— оо) и после рассеятгая (і-+трактуется симмет-
(1.1)
§ 1. постановка задачи рассеяния
И
ричио. В реальных экспериментах ситуация отлична, по легко может быть формализована в приведенных терминах. Так, калибровка пучка свободных частиц относится к первому этапу (?->- —«О, а анализ частиц, разлетевшихся после попадания пучка на мишень, соответствует второму этапу (?-><»). Поэтому в этой книге мы будем заниматься формализацией именно приведенной постановки задачи рассеяния.
Первое приближение в этой формализации для случая короткодействующих потенциалов состоит в следующем: рассмотрим / связанных комплексов. Это значит, что заданы:
1. Набор уи у2, . . У\ координат их центров инерции;
2. Ми М2, ..., каждая из которых есть сумма масс частиц, входящих в комплекс;
3. Относительные координаты хк, к = 1, 2, ..., I, для частиц, входящих в комплекс с номером к (детальное определение комплексов дано в следующем разделе);
4. Волновые функции г|)Л(#ь), к = 1, 2, ..., I, описывающие внутреннее состояние комплекса.
Различные допустимые совокупности таких данных будем нумеровать специальным индексом и использовать для него буквы А, В,____
Волновая функция вида
I
(г±1 г2, . . ., 7>, г) = Ха (г/1, у2, • • •, У и *) ЛЬ Ы
к=1
(1.2)
хшисывает свободное движение комплексов, если функция %л(у1, У2, . •., Уц ?) удовлетворяет уравнению Шредингера
(1.3)
где действует в Ь2(Кзг) и задается дифференциаль-
ным оператором
где константа ЕА представляет собой сумму энергий связи комплексов. Из свойств решений свободного уравнения Шредингера известно, что при [?| -> оо волновая функция уходит в окрестность бесконечности в IVй, так что связанные комплексы действительно расходятся на большие расстояния.
