Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
12 ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
Общее асимптотическое движение задается суперпозицией описанных состояний:
^as (Г15 Г2, . . . , rN, *) = Ц °А^А (Г1? Г2, . . ., Гдг, ?)•
А
Состояние рассеяния Wit), соответствующее заданному начальному состоянию ^^(f), определяется как решение уравнения Шредингера (1.1), совпадающее с Чг(а7) (t)
При t ~оо:
Повле рассеяния это состояние снова должно стать асимптотическим, так что существует такое Ч?а?*(?)* что имеет место соотношение
|Y(t)-Y?>(t)|-*0, f-*oo.
Результат рассеяния состоит в превращении асимптотического состояния ?(а7) (t) в Wit* (t). Ясно, что зависимость ^РадЧ*) от ^РадЧО линейна, так что существует такой линейный оператор S, что имеет место соотношение
?<+)(f) = S4f(a7)W- (1.4)
Неочевидный факт состоит в том, что S не зависит от t. В этом свойстве находит свое выражение закон сохранения энергии, что станет яснее во второй главе. Более точно, оператор S действует на совокупности функций Ха(*) и задается матрицей Sab. Этот оператор содержит в себе информацию о всех возможных результатах рассеяния и называется по этой причине оператором рассеяния.
Для обоснования приведенной постановки задачи рассеяния следует:
1. Доказать существование решения W (t) с начальными условиями (1.2) при t->- —00;
2. Исследовать асимптотическое поведение Wit) при ?-^оо*и показать, что оно дается формулой (1.4).
Первая задача проще второй, хотя на первый взгляд они формулируются почти симметрично. Несимметрия состоит в том, что в первом случае заданным считается явно описанное Ч^Ч^К а во втором гораздо менее контролируемое Wit). Более формально, будем считать, что первая задача решена. Тогда определены подпространства •б(а7) и Фаз"- в L2(R3JV), которые пробегают векторы Wit), полученные при таком решении, отправляясь
§ 1. постановка задачи рассеяния
13
от _оо и I +оо соответственно. Эти подпространства инвариантны по отношению к действию динамической группы Если выполнено условие
Ф^-е^,- (1-5)
то всякий вектор ^РШ, полученный при решении начальной задачи при оо? может быть получен также, отправляясь от ? -*- +°°, и имеет тем самым нужную асимптотику. Таким образом, проверка последнего условия эквивалентна решению второй задачи.
Физически это условие означает, что в перечислении возможных асимптотических движений мы не упустили ни одной возможности. Поэтому оно называется условием асимптотической полноты. Математическое доказательство этого утверждения является наиболее трудной частью теории рассеяния и до сих пор оно не дано в полной общности.
Перейдем теперь к заряженным частицам. В этом случае в модификации нуждается описание асимптотической динамики волновых векторов %л(хи х2, ..хг) центров инерции комплексов. Физически это связано с тем, что заряженные частицы движутся асимптотически по гиперболам, которые* приближаются к прямым недостаточно быстро.
Поправка к асимптотической динамике может быть получена из следующих соображений. Рассмотрим сначала классическое движение двух4 заряженных частиц. Функция Гамильтона имеет вид
<чр * „2 I__1 „2 , *12
где р{ и р2 — импульсы частиц 1 и 2. Классическое движение по прямым задается формулами
и кулоновский потенциал на таких траекториях имеет
вид
"УУ» 1 , с „,,,4
Первое слагаемое здесь исчезает при Ш <*> недостаточно быстро, что и приводит к упомянутому выше искажению реальных траекторий. Однако, если присоединить
14
гл. i. общие положения теории рассеяния
его к гамильтониану свободного движения, переводя его в выражение
Х*вЮ=щРг + ЩР* + |п»Л-тЛ| |7Т>
то траектории последнего приближают при Ы -> °° реальные траектории достаточно хорошо. Аналогичное соображение работает в случае нескольких заряженных частиц. В гамильтониан асимптотического движения дает вклад каждая пара заряженных частиц или связанных комплексов.
Возвращаясь в квантовую механику, мы видим, что (1.3) должно быть модифицировано в уравнение
*! = НаА8(*)Х,
где
и операторы В(А имеют вид
где константы ъ{К пропорциональны произведению 2 (7/ 2 Чзч суммы берутся по частицам в комплексах I и
I 3
к соответственно. Приведенное уравнение Шредингера решается не менее явно, чем уравнение (1.3), так как после преобразования Фурье оператор превращается в.оператор умножения на функцию так же, как и
После сделанной модификации вся остальная постановка задачи рассеяния и программа ее обоснования бс-таются без изменений.
В последующих параграфах этой главы мы продолжим формализацию и уточнение постановки задачи рассеяния и детализацию программы ее обоснования.
§ 2. Кинематика
В этом параграфе мы введем кинематические переменные, применяемые для описания состояний системы N частиц в конфигурационном и импульсном пространствах.
Подсистемы и разбиения. Рассмотрим систему ТУ частиц, пронумерованных* от 1 до N. Ее подсистемой будем
§ 2. кинематика
15
называть совокупность / частиц, 1 ^ I ^ с номерами пи п2, ..., щ. Для обозначения подсистем будем использовать мультиипдексы со/, о)/ = тг27 ..Я/), компоненты которых пробегают номера входящих в подсистемы частиц. При этом, по определению, будем считать подсистему со1(7г1) состоящей из одной частицы с номером пи а подсистему соя отождествлять с исходной системой N тел. Значок /, обозначающий число частиц в подсистеме, будем иногда опускать.
