Квантовая теория рассеяния для систем нескольких частиц - Меркурьев С.П.
Скачать (прямая ссылка):
являются абсолютно интегрируемыми на промежутке
[1, ~Ж-оо, -1]).
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, воспользуемся формулой
§ 4. ВОЛНОВЫЕ ОПЕРАТОРЫ
33
получим оценку 1фАШ1 < С(1'+ Ы)~3/2. Итак, функция фА(^) является абсолютно интегрируемой и, следовательно, пределы (1.22) существуют.
Рассмотрим далее общий случай. Пусть со, со' —подсистемы детализованного разбиения 4 и Й — подсистема, полученная объединением этих подсистем, ?2 = (со, со'). Обозначим через Ую(0/ оператор взаимодействия между подсистемами со и со',
Очевидно, оператор, описывающий взаимодействие между кластерами, можно представить в виде суммы операторов взаимодействия между подсистемами,
Уа — 2 Усосо'. со,со'
Следовательно, условия признака достаточно проверить для каждого слагаемого Уосо' по отдельности. Покажем, что соответствующие этим,слагаемым квадратичные формы могут быть представлены в виде интегралов типа (1.28).
Пусть {хА, уА) — приведенные координаты Якоби, отвечающие детализованному разбиению Л, и {кА, рА) — соответствующие им импульсы. Зададим векторы уА и рА в базисе, индуцированном цепочкой разбиений Аь
У А = [Уар^, УА1„1}1 РА = {Раг^-ц РА1тт1\ч
где разбиение щ~1 получается из аг объединением подсистем со и со'. Функция ЕА(рл) в этом базисе принимает вид суммы
ЕА (Ра) = Рщ^ + РАг-г ~ К А-
Заметим далее, что потенциал ^сосо' зависит лишь от внутренних координат кластеров Х<о, Х^ и от внешней координаты Уам^ Поэтому оператор взаимодействия в импульсном представлении действует по переменным РА{_ как оператор умножения на единицу. Следовательно, нетривиальная часть экспоненты будет зависеть лишь от переменных Рсца^- Для квадратичной формы, отве-
3 С. П. Меркурьев, Л. Д. Фаддесц
34
гл. i. общие положения теории рассеяния
чающей слагаемому получаем в этом базисе
представление:
2
фсооз' =
= I йРАг-йРЩ-хйРар^ ехр {г (р^а^ ~ Рар^) *} x
X ^1/ (рап^ ~ Ра^) / [Ра^р Р^) / РА^
(1.29)
где через и®®' обозначено преобразование Фурье квадрата «усредненного потенциала». Последний определяется равенством
а / \
^©©' (Уар^) =
= | i 'Фсо (^со>р | *!>©' (<?©') |2 У©©' (-^©, ^©', Уар^) (1Ха<1Хи>.
Ясно, что функции у©©/, как и функции и1н_±% являются гладкими. Следовательно, мы можем оценить интеграл (1.29) так же, как мы это сделали выше в случае квадратичной формы Фа- В результате установим, что функции Ф©©' (?) абсолютно интегрируемы на промежут-
Ке [±1, ±оо).
Таким образом, мы проверили, что волновые операторы существуют в предположении, что преобразования Фурье квадратов парных потенциалов представляют собой гладкие ограниченные функции. Соответствующие условия можно сформулировать и в Х-представлении. Мы не будем, однако, обсуждать их здесь. Отметим лишь, что эти условия выполняются для потенциалов, убывающих как степень Ы~~3-8 при \х\ -> оо.
Рассуждения, которые мы описали выше, можно обобщить и на весь более широкий класс короткодействующих потенциалов, охарактеризованных в § 1. При этом соответствующие им преобразования Фурье и2(р) будут, вообще говоря, иметь особенности, которые, однако, являются не слишком сильными. В отличие от таких потенциалов преобразования Фурье кулоновских потенциалов имеют сингулярность, которая уже не может быть рассмотрена в рамках описанной схемы. В этом случае, как мы видели выше, определение волновых операторов следует моди-. фицировать.
§ 4. волновые операторы 35
Итак, докажем существование обобщенных волновых операторов, для кулоновских потенциалов. С этой целью рассмотрим выражение
OcA(t) = femtLAVA(t)fA =
= eiHt (VALA - LAVA (pAt)) е-ЩРА)/А (pA)
и оценим его норму при \t\ ->•. оо. Кулоновский потенциал зададим в Х-представлении. В подходящих переменных, которые мы описали выше, задача исследования функции ||Фа (?) Т сводится к исследованию интеграла
IcA(t)= J dx\^dpexv{-itp2 + i(x,p)}^-^IX
\х\>1
12 у
лл #g)5(ju' /о \1/2
Сделаем замену переменной х = ty и проведем первое интегрирование по переменной р. При этом быстро осциллирующая экспонента принимает вид exp {itg(p)}, где функция g(p) = р2 — (/?, г/) имеет единственную критическую точку р0 = у/2, Vg(po) =0, в которой g(pD) = — */2/4.
Заметим, что в критической точке подынтегральная функция (\y\~l — (2pt)~l) обращается в нуль. Это приводит к тому, что при у > 0 этот интеграл убывает как t~5/2, т. е. быстрее, чем степень |?|_3/2, которая возникает в случае, если подынтегральная функция отлична от нуля. Именно в этом месте проявляется отличие модифицированного определения волновых операторов (1.25) от определения (1.22) для короткодействующих потенциалов. С другой стороны, в точках у = 0, р = 0 подынтегральное выражение обращается в бесконечность. Можно показать, что это ограничивает убывание интеграла при малых у = 0(t~l) степенью t~3/2~\ 0 < 8 < 1/2. Поэтому для оставшегося интеграла по у справедлива оценка
И (0 = 1* Г2"2' 1 dy | / (у) Р | у 0 < г < 1/2.
Таким образом, при t>l интеграл IA (t) ограничен и имеет порядок 0(\t\-2~2e), т. е. VlcA(t) представляет со-3*
36
ГЛ. I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ
