Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
381
одинаково в обоих случаях, что видно из выражения для 4-силы /г- = FnlSk, которая остается истинным 4-вектором в обоих вариантах описания заряда. Тензор энергии (5.106) также остается тензором ранга 2, Тем не менее, возможность (11) следует учитывать, имея в виду последние результаты по несохранению четкости.
3. Плоские волны в однородной изотропной <'реде
В покоящейся системе однородная изотропная среда, характеризующаяся электрической и магнитной константами S и ц соответственно, удовлетворяющая условию P= J = 0, описывается уравнениями Максвелла (7.31) и (7.32), которые можно представить в виде
div H —div E = O; (I-
sE — с rot H, fiH = —с rot E; (2)
D = єЕ, В — [яН. (3)
В случае плоских волн, когда плоскость волны перпендикулярна оси х в декар-
товой системе координат (*, у, г), векторы поля являются функциями только х и t. Из (1). и (2) в этом случае имеем
дЕх/дх = дHх1д х = Ex ~НХ —0, а поскольку постоянные поля несущественны в оптике, можно положить
Ex-Hx-O. (4)
Компоненты по у и г уравнения (2) имеют вид
zdEyldt=—сдНг/дх; ZdEzIdt=CdHljIdx', (5>-
\idHy/dt =CdEzIdx', \idHz/dt = —cdEyldx. (6)-
Дифференцируя одно из этих уравнений по t и используя оставшиеся, видим, что функции. Ey, Ezt Hu, Hz удовлетворяют волновому уравнению
d2ty!dt2 = w2 d2 ip/dx2, (7)
где
w-сі У (щ) (S)
— постоянная величина.
Общее решение (7) имеет вид i|> Z1 (t — x!w) + /2 (t — х 'a), где I1 и f2 — произвольные функции. Две составляющие в этом решении соответствуют распространению волны вдоль х в противоположных направлениях. Рассматривая нолцу, распространяющуюся в сторону увеличения оси х, допустим, что
Еу = &~1^2 I (/—xfw), Ez = e~lfZ g(t-xiw), (9}
где I и g — произвольные функции аргумента (t — x/w). Интегрируя затем (6), находим
Hy = — ,и-1/2 g (t — xlw), Hz = y,~l/2 [(t—xlw) (10)
Уравнения (4), (9) и (10) представляют собой наиболее общие выражения для волньг, движущейся в положительную сторону Вводя три единичных вектора п --- (1,00), е{1) -
= (0, 1, 0) и е1-> — (0, 0, 1), можем далее записать
E= а~ 1/2 I (t — (х • п)/ш) е(1) -{- є 1/2 — (х • п)/ш) е(2); 1
H = —р,-1^2 g-(і—(х • п)/ю) e(1 J-f Jj,-1 / (^ — (х-п)/ш) е(2), J
и эта форма остается справедливой, если система координат вращается так, что и уже не лежит на поной оси х. Векторы е(1) и е<2> тогда являются произвольными, но постоянными единичными векторами, перпендикулярными друг другу Ii вектору п.
4. Символы Кристоффеля в терминах Yjxv, % н их производных
Легко проверить, что метрический тензор gik можно записать в виде
Sik =§ik Г; Tft, (1)
где gik — стандартный тензор (9.299), а Гг- — 4-вектор (9.286), являющийся функцией ^nv* ® соответствии с (9.98), пространственная часть g;k равна контравариантному
пространственному метрическому тензору
Yjiv- (2)
382
Tc да, положив в (9.7) і = 4, k = к, найдем, что
4 = Ytxv 7v/(I -1-2'//с2)1 = yllV Г4 Tv. (3)
По аналогии кз (9.7) с условием і ¦— ft = 4 получим
g44 = — (I-Tiiv уи vv)/(, -г 2%/с2), (4)
3 из (1)
Sihd - (Sik)A-TlTktI-TkTiiI. (5)
Первый член в правой части (5) исчезает, если одни из двух индексов і и k равен 4. Подставляя (5) в (9.77), находим следующую формулу для символов Кристоффеля:
Гілі =Tlki-(Ifi) Ti (1^ + 1^)-(1/2) ГЛ(ГМ-Г,.,)-(1/2) T1 (Titk-Thii), (6)
где
г*,ы - (1/2){(gik) ,! + (gil) tk — (gkl) ,i) (7)
H
rL= Sim .(1/2) Г1 (Гы + Гг,й)1- (1/2) Tftgim (Гт,г - г/>т)-
(1/2)Г; g т (TiriiJt Tflrm). (8)
Здесь T*,ki — символы, полученные со стандартной метрикой gih\ они исчезают,
если два из трех индексов i, k, I равны 4. Поскольку Tmi = O1 из (8) при і = ц, k = I =4
находим
Г^4 = - г* g*m (ГЖі4 - Г4,т) = _г4 ( Tv (4 - г4 _ v) =
= с-2 ^fiv (dxfdx0 + с* dy^fdt), (9)
где использованы выражения (9.286) для Fv- Формула (9) тождественна (9.112).
Далее, из (3), (9.288) и (8) при і = ja, k = v, I — 4 находим
1? =(1/2)^1^ 4-(1/2) rvg**(rx>4-;r4 д)--(l/2)rftg^(rx>v-rVtX)-(l/2) T4Sfi4(F4 v-^4) =
= (1/2) TixvTuv. 4 - d/2) Т^{Г4 (Гя> v- Tv> x) +
+ 1V (1Y1 4 Г4, г.)~Гх(Г4, V —rv, 4)}- (l°)
И наконец, из (9), (IO) и (9.115') получаем
eV- = (rV4 + Г?4 Г4 rv) =y^(cI^)dyXvfdH-(yc^f2) {(Г^ v_rv> ,) +
+ ^Гя(Г4(Л,-ГГі4) + (ГХ(4-Г4^)Г*Г,.}. (11)
Первый член в этом выражении есть r^e — тензор (9.117), а оставшиеся
члены равны гдс “vX ^v?. “ тен30Р пространственных вращений (8.135),
(9.343). Легче всего в этом убедиться, используя связь (9.339) между Qv^ и Qim и выражение
n[v] = 6vi + rvr«6/4, (12)
вытекающие из (9.302). Следовательно, (И) тождественно (9.116).
5. Условия для плоского пространства
Плоское пространство — это пространство, в каждой точке которого можно ввести геодезическую систему координат. Если это условие выполнено, то
Riklm = 0 (1)
справедливо во всех точках, причем Rikim — тензор кривизны (9.229). Теперь покажем, что (1) является и достаточным условием.
Если тензор кривизны исчезает всюду, то из (9.232) следует, что результат параллельного переноса некоторого вектора не зависит от пути переноса. В этом случае можно
