Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
(IlE)^dEjdt=-RlR.
(12.197)
Здесь мы использовали выражение для тензора расширения dx\, вытекающее из (12.187), (12.188) и (12.191):
dvx = (dyvx/dt)l2 = (RlR) yvX.
(12.198)
13*
371
Интегрируя (12.197), получаем
E (t) R(t) = E (Z1) R (Z1) = const. (12Л 99)
Если световой частицей является фотон, испущенный в момент I1 галактикой, покоящейся в S, то (12.199), деленное на постоянную Планка, дает связь между стандартными частотами v (/) hv (^) в моменты времени t и іг соответственно
v(t) R(t) = v(tl)R(t1). (12.200)
Соответствующее соотношение (10.187) для стандартных длин волн имеет
вид
І (*)/ і (h) = R (і)/R (іг). (12.201)
Следовательно, в момент приема t0 в точке if = 0 мы должны наблюдать относительный сдвиг спектральных линий
z~(k(t0)-i(tM(t1) = (R(t0)-R(U))IR(h) = (G(t0)-Gih))lG(h)>( 12.202)
где a (Z1) и а (t0) — стандартные расстояния от наблюдателя до галактики
в моменты излучения и приема соответственно. Время t0 получается из (12.196)
при г(з = 0, т. е.
І о
th = с J */#(*). (12.203)
В расширяющейся Вселенной, где R (Z0) > R (Z1), г положительно, и
наблюдаемое смещение линий должно быть красным.
Если положить
= RVi) = Ri> R0-Ri = *, (12-204)
то (12.202) можно переписать в виде
R1 = R0(I-^z)-K (12.205)
Для большинства наблюдаемых галактик (но не для недавно открытых квазаров) смещение очень мало, так что (12.205) можно разложить в ряд:
Ri = Rq (i—Z + Z2+....); I (12.206)
где R0 — современное значение функции расширения R (і). Теперь (12.203)
можно также переписать в виде
% = CiRfRR=Zf(R1)t (12.207)
R1
причем при фиксированном R0 интеграл (12.207) можно рассматривать как функцию R1. Значения интеграла / (R1) и первых его двух производных при Ri — Ro следующие:
f (Ra) = K Г (R0) =-сIR0R0-Г W = (Ro + Ro ^RJdR0) - с (Rl + R0R0VRl Rl.
(12.208)
Для малых z отношение AZR0 также мало, так что с учетом (12.206)
I (R1) можно записать в виде ряда Тэйлора
f (Ri) = f (R0)-f' (Ro)А + Г (Ro) Да/2 + - . (12.209)
Следовательно, из (12.207) и (12.209) для стандартного расстояния до галактики в настоящее время
O0 = Rob (12-210)
372
получаем
O0 = R0^1 = (ClR0) A + (c(R0R0 + Rhf2R0Rl)№+... . (12.211)
Вводя (12.206) в (12.211), находим выражение
q0=fgg.z+-(jgS^0~/?^za+..M (12.212)
R0 2 Rl
связывающее расстояние, смещение 2 и величины R, R и R в данный момент времени. Решая (12.212) относительно z, получаем
z = (R0/cR0)e0-[(R0R0-Rl)l2c> Rl]o* + ... . (12.213)
Коэффициент Хаббла (12.194) и его производная в настоящее время равны
H0 = RJR0- H0 = (R0R0-R20)IRl (12.214)
следовательно, формула (12.213) для смещения может быть переписана в виде
z — H0Gjc—Я0а*/2с2 + ... . (12.215)
Первый член в этом выражении соответствует закону Хаббла, так как скорость (12.195) в данный момент равна V0 = H0O0.
Для большинства наблюдаемых галактик 2 — малая величина, поэтому для них справедливы приближенные выражения (12.212) и (12.215). Тогда смещение z можно трактовать для них как меру их удаленности от наблюдателя. Сдругой стороны, для ряда открытых уже в шестидесятые годы пекулярных объектов (квазаров) смещение z оказывается достаточно большим. Действительно, для многих из них смещения имеют тенденцию группироваться около значения 2. Из формулы типа (12.212) можно заключить, что все эти объекты находятся на невероятно больших расстояниях от нас. Однако из точных формул (12.201) и (12.202), которые должны в этом случае применяться, уже нельзя сделать такого заключения. В самом деле, как заметил И. С. Шкловский в 1967 г., можно найти достаточно простое объяснение этому явлению, если предположить, что R (t) в период излучения света квазаром была стационарна и равнялась примерно одной трети от современного значения R0.
Как мы заметили в начале этого параграфа, всегда можно в однородной изотропной модели ввести сопутствующую систему координат S, в которой линейный элемент принимает вид (12.187), (12.188). Поскольку R (/) может быть произвольной функцией t, эти формулы на самом деле удовлетворяют большому числу различных космологических моделей. При R = const, и ? = +1, например, мы получаем линейный элемент (12.125), (12.147) модели Эйнштейна. Формально элемент де Ситтера (12.161), (12.162) в системе координат S' также можно получить из (12.187) и (12.188), полагая R(/) = e™; ? = 0;
H = R/R = const. (12.216)
Однако нужно помнить, что система S', определенная в (12.160), не является сопутствующей фоновой материи модели де Ситтера, поскольку последняя, как показано выше, практически пуста. Если предположить, что R (t) и ? удовлетворяют (12.216) в сопутствующей системе с реальной материей, то можно получить линейный элемент
dsz = е2Ht (d*2 _|_ 4уЪ _|_ dz1) -C2Clt2 (12.216')
теории Бонди—Гоулда [30]. Эта модель привлекательна тем, что Вселенная в ней оказывается однородной не только по пространству, но и по времени. Однако формула (12.216) не является решением уравнений Эйнштейна ни при каком физически разумном уравнении состояния вещества, как мы увидим в следующем параграфе, где наложим ограничения на R (/), вытекающие из уравнений ОТО.
