Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
373
§ 12.3. Модели Вселенной, совместимые с ОТО. Вселенная Фридмана
Метрический тензор линейного элемента Робертсона—Уолкера (12.187), (12.188) имеет вид
Вычисление левой части уравнений поля (11.25) и (12.217) элементарно, но несколько длинно. Читателю предоставляется возможность проверить самому, что
В сопутствующей системе координат с метрикой (12.217) тензор энергии— импульса идеальной жидкости сводится к
где р и и0 — функции только от t, если мир однороден. Вводя (12.218) и (12.220) в уравнения поля (11.12), получаем соотношения
которые совместно с уравнением состояния идеальной жидкости позволяют определить R, р и ц° как функции t.
Умножив (12.222) на R3, продифференцировав его, вычтя из него (12.221), умноженное на RR2, найдем уравнение
Это уравнение, являющееся следствием уравнений (12.221) и (12.222), тождественно закону сохранения (10.233), который в сопутствующей системе координат имеет вид уравнений (в) и (г) на стр. 298. В нашем случае уравнение (в) удовлетворяется тождественно, а поскольку
т. е. тождественно (12.223).
Рассмотрим теперь фиксированную область в сопутствующей системе отсчета с соответствующими дифференциалами пространственных координат dx1, dx2 и dx3. Ее объем есть бV — yl/2dx'dx2dx3 = 6\/0. Тогда уравнение
(12.225) после умножения на dxHx2dx3 перепишем в виде
где h° ~ j.i0c2 = h— плотность энергии в S. Сравнение с (6.138) и (6.141) показывает, что мы имеем дело с адиабатическим изменением, при котором энтропия сохраняется.
Snv = Я2 (0 (I + ?/"2/4)-2 Sliv, Bii=-Ugll4 = O. (12.217)
^jiv ffiiv Rl2 — (2R/Rc2 -j- R2JR2C2 -f- ?/R2 — X)
Sv.4 Rl^ = 0;
Ru-Sii Rn-Igii= -3(R2lR2e2 + ?lR2) + X.
(12.218)
т. e.
Tik = ([I0 + Pfcs) с2 Sii Ski + pgih, T= pgy.v> Тц4~0, Т4і = іл°с2,
(12.219)
(12.220)
2R/R + RiIR2+ Ic2IR2 = (Х—кр) с2; R2IR2 + I1C2IR2 = (A,-f с2) с213,
(12.221)
(12.222)
d ((I0с2 R5)Idt= — pdR3IdL
(12.223)
(12.224)
уравнение (г) принимает вид
д c2y{/2)ldt = —pdyl/2/dt,
(12.225)
d (h° SV) [dt = —pd&V/dt,
(12.226)
374
Функция R (I) в линейном элементе (12.216') имеет вид (12.216). Вводя (12.216) в уравнения поля (12.221), (12.222), получаем H2 = R2ZR2 = (А -f + X^L0C2) с2/3 = (А — хр) с2/3, или р = —[х° с2. Такое большое отрицательное значение давления материи во Вселенной совершенно нереально, и это говорит о том, что теория стационарной Вселенной требует принципиального, хотя количественно и незначительного изменения уравнений поля Эйнштейна.
Решение уравнений (12.221), (12.222) или эквивалентных им уравнений (12.222) и (12.223) зависит от принятого уравнения состояния материи, т. е. от соотношения между р и ^0. Мы не будем обсуждать все возможные решения, а остановимся опять только на тех предположениях, на которых основаны классические модели Эйнштейна — де Ситтера [83] и Фридмана [102]. Эти авторы ввели несколько упрощающих предположений.
Вначале было предположено, что космологическая постоянная А, в любом случае являющаяся малой величиной, вообще равна нулю. Основанием для такого предположения послужило то обстоятельство, что нестатическая космологическая модель с конечной плотностью материи во всем физическом пространстве реализуется в теории и без A-члена, в отличие от статической модели Эйнштейна, не существующей без A-члена. В самом деле, если бы хабблов-ское разбегание галактик было открыто в момент создания общей теории относительности, то во введении A-члена вообще не было бы необходимости. За-
о
тем было принято допущение, что давление р настолько мало по сравнению с [X0C2, что им вообще можно пренебречь в формуле (12.219), а следовательно, и в уравнениях (12.221)—(12.223). Во всяком случае, в нашу эпоху это условие выполняется. Тогда уравнения (12.223) и (12.226) выражают не что иное, как сохранение энергии, или массы, в заданной области физического пространства. Интегрируя (12.223), получаем
(кс2/3) (12.227)
где M ~ константа, а (12.222) сводится к выражению
Rfc= zt (M/R—t)42. (12.228)
В случае расширяющейся Вселенной (знак плюс) имеем решение
R
ct = jdR/(M IR— І)Х!\ (12.229)
•о
В (12.229) за начало отсчета переменной t выбран момент времени, когда R = 0. Если бы мы выбрали в (12.228) знак минус, то получили бы сжимающуюся Вселенную.
Рассмотрим сначала случай ? = 0, когда физическое пространство в любой момент времени евклидово. Интегрируя (12.229), получаем
R(t) = (9M/4)1J3(ct)2/\ (12.230)
Следовательно,
H(t) = R/Rr=2/3t, H(t)= — 2/Зі2= — (3/2) HK (12.231)
Это решение, в котором коэффициент Хаббла непрерывно уменьшается со временем, является космологической моделью Эйнштейна — де Ситтера. Такая Вселенная начинает свою эволюцию с «Большого взрыва» в t = 0, когда R = Q, а R = оо. В настоящее время t0 коэффициент H0 = H (I0) может быть найден из наблюдений, поэтому, используя (І2.231) и (12.186), можно указать «возраст» Вселенной:
t0 = 2/3H0 с* 2,7-IO17 сек ~ 9- IO9 лет. (12.232)
375
Далее, из (12.227), (12.230) и (12.232) следует значение средней плотности материи в нашу эпоху