Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
построить единое тетрадное поле (х), h(х) во всем пространстве по данной тет-
383
раде h\a) (0),Л<Й> (O) E точке 0 параллельным переносом векторов тетрады в произвольную точку (х). Это поле удовлетворяет условиям (9.81), (9.84) и (9.86), всюду, т. е.
hWhU) Sik = Vab (?
И
h\a)h\b) = 8«, Aje) Af0J = SW (3)
Далее, из уравнений (9.137) и (9.186) следует, что (х) и /і|а) (х) должны быть решениями дифференциальных уравнений
hIank = O, !^\ = 0. (4)
Из последних уравнений получаем
Dh^Zdxk = T1ik = Dhik^jDxi, (5)
где учтена симметрия T1ik по нижним индексам.
Легко видеть, что преобразование хп — хп (хк) приводит к геодезической системе координат (х'(), если коэффициенты преобразования положим равными
ccA=aA0W- «fe = A(fc)W- (6)
Эти коэффициенты удовлетворяют условиям (9.11) вследствие тетрадных уравнении (3). Такой выбор возможен, поскольку из (5) следует, что условия интегрируемости (9.14) при ak = удовлетворяются. Для метрического тензора g'ik в системе (Xn) из (9.12), (6) и (2) получим
elk = «і «А Slm=hIt) hTk) Zlm = ^ih, (7>
т. е. компоненты тензора постоянные, а сама система (х'‘) — лоренцева.
6. Производные от функции ? через g, lkm и glm и выражения
для суперпотенциала
В соответствии с (11.137) функцию 2 можно записать в виде
? =V Fr?) (А - в), (і)
где
A = SikTtikTsts, B=UlrTklmTfk. (2)
Поскольку glk и gik считаются постоянным!! при дифференцировании по glто
д Zjdglmk = /F^) (DAjdglm-DBjdg1X) J (3)
DAjdglmk= gir Г\г BTstsZdg1iI+ Tsrs д (gu Vrit)ldglmk. (4)
Из (9.126) получаем,
Tsts = - (\j2)glmglmt, (5)
т. е.
dTlJdglm =- (l/2)glm8*. (6}
Далее, свертывая (9.125) по индексам к и !, имеем
glt Trit = - dgrmIdxm- grk Ttkt = - (g™ + ^)/2 + g'%m glmj2. (7)
Следовательно, выражение
а (*« Tru)ldgl™=-(S\ + Vm 8?)/2 + Srk glmZ2 (8).
симметрично по / и ти [см. текст после (11.145)]. Используя (4)—(8), получаем
dAldg1^= - (1/2) g" r*s 8lm+ Tls {-(1/2) (Sf б?) 4- d/2) (9>
Чтобы найти соответствующую производную от В, рассмотрим вариацию пеоеменных при постоянных glk. Соответствующая вариация В равна
SB = TklfnS (Slr Tm + е™ T1rk).
384
Если в последнем члене вариации В сделать циклическую перестановку индексов k, I, г,, т, то это выражение с учетом (9.125) можно привести к виду
8B^-Tkm8g[mk.
Следовательно,
QBIdg1X=-Tklm, (Ю)
откуда, используя (3) и (9), находим искомую формулу
ве/Зг^=У(=іГ{г?т-(б?г*г + б* rrlr)/2-(grs rkrj2-grk rs„) glm\. (її)
Аналогичным образом можно найти производную от 2 по g,m. Однако гораздо удобнее исходить из (11.144), в соответствии с которым
^dfilm = V(zT) (Rlm-Rglml2)+ OIdXk (dCfdg1™). (12)
Последний член можно получить из (11) дифференцированием по Xli, в то время как первый член можно взять из (9.242), (9.239). Кроме компонент метрического тензора и символов Кристоффеля, эти выражения содержат также производные от символов Кристоф-феля. Поскольку ? и левая часть (12) не содержат последних, все члены справа, содержащие производные от символов Кристоффеля, нужио вычеркнуть. Дифференцируя (11) по хк, получаем выражение, содержащее только У (—g), grs, gim. Следовательно, правая часть (12) должна зависеть только от компонент метрического тензора и символов Кристоффеля. После длительных выкладок приходим к результату
dVdBln=V(=g) {r;s Tsmr- Trlr Tsns-
- (1/2)(/* Tkrs-grk Vss)(Tm,lh + T,,mk)}-\/2glmil. (13)
Выражения (I I) и (13) для производных от 2 по gl™ и g11”, как легко видеть, согласуются с (11.146) и (11.147).
Если теперь подставить (11) и (13) в (11.154) и использовать соотношение
(V7T)-J= -(1/2) V~gglmg[f= (1/2)/=? glm glm>i =V^Trir, (14)
вытекающее из (9.126) и (9.128), то можио получить явный вид формулы для тк
<- (‘W { Vklm (V~eёш).,- Vsms (V=Tg*m).i-б?С}. (15'
Вычислим теперь величину
Ak г. (1/х) {(d?/dgly) Zj1 + Skm ¦ (16)
Используя (9.125), (11) и (13), после длинных выкладок получим
Akl = (V“?/2x) ) - Tl (glr Г» + gmr Tjr) + Trmr (gks Tf1s + g”ls Tfi) +
+ Vrir(glm Tklm-gkm Г^)}-6*Є/2и. (17)
Если снова учесть (9.125) и (14), станет ясным, что полученное выражение тождественно
правой части (15), поэтому
A^=Xkl.. (18)
Рассмотрим теперь величину Skl из (11.175). Подставляя (11) в (11.175), находим skl = (gkmjx) д lHfdgiInl = (gkmfv.) { T1im-(б{ Tnmn -f 6lm Tnin)f2-
(grS Trs gr! Г*5) gim/2}. (19)
Чтобы выразить skl через метрический тензор и первые производные от его компонент, подставим в (19) выражения (14) и (9.77). Далее, используя (9.7) и уравнение
SiltnSlk =- Sll g%, (20)
385
иытекающее из (9.7), после длительных, хотя и не слишком трудных вычислений находим выражение
= + (1/2к) [б{ /( —g) gkm— [6J* /(—g) gft'] >m. (21)
где
= (g;n/2x yi — g)) [(— g) (gkn:g,m — gln gftr,!)] >m • (22)
Подробные вычисления можно найти в приложении к статье [171]. Поскольку выражение внутри квадратных скобок в (21) антисимметрично по I и т, то последний член (21) не дает вклада в Следовательно,
