Теория относительности - Мёллер К.
Скачать (прямая ссылка):
df = (y»vdflldfv) = (y"driy;\
или
df = R2pl sinQdQdy, (12.248)
377
откуда после интегрирования по всем направлениям следует (12.245). Для сферы единичного радиуса ст = /?і|зх = 1,%= R-1 чрезвычайно мало и = р-,, если учесть (12.191). Следовательно, ^p1 = Rty1 = 1, и площадь единичной сферы (12.245) в соответствии с утверждением, что в достаточно малой области физического пространства справедлива евклидова геометрия, есть
f (1) - 4л. (12.249)
Рассмотрим теперь источник в начале координат, излучающий п (1) фотонов частоты V (I) — V (1) в единицу времени. Энергия, которая уносится фотонами в единицу времени, составляет
E (I) = п (I) Av (1), (12.250)
т. е. равна потоку энергии через единичную сферу, окружающую источник. Фотоны, излученные в t = I1, достигнут сферы (12.243) в момент времени f0, определяемый уравнением (12.203). Поскольку — константа, дифференцируя это уравнение, получаем
Ctt0ZR0- Cit1IR1 = O. (12.251)
Если п (0) обозначить число фотонов, проходящих сквозь сферу в единицу времени, то
п (I) іH1 = п (0) dt0, (12.252)
так как число фотонов п (I) dt*, излученных в интервале (^1, I1 + dtj), равно числу фотонов п (0) dt0, пересекающих сферу в интервале (t0, t0 + dt0). Из (12.251) и (12.252) следует уравнение
п (0) = n(\)dt1/dt0 = K(I)R1IR0. (12.253)
Согласно (12.200) для энергии фотонов, достигающих сферы в момент t0.
hv (0) = hv (I) R1/R0. (12.254)
Таким образом, из (12.253), (12.254) и (12.250) получаем поток энергии через сферу
E (0) = п (O)Zjv (0) = п (I) hv (I) (R1IR0)2, или
E(O) = E(I)(R1IR0)2. (12.255)
Поскольку соотношение между E (0) и ? (1) не зависит от частоты, оно справедливо и для полного потока энергии от источника с произвольным спектром излучения. Таким образом*, из (12.245), (12.249) и (12.255) следует, что видимая и абсолютная светимость источника связаны между собой
b = E (O)If (0) = (Е (1)/4я) • Rllpl Ri0 = BRlipl К- (12.256)
Вселенная однородна и изотропна, поэтому соотношение (12.256) будет справедливым и тогда, когда излучающая галактика находится в точке (^1, 6, ф), а наблюдатель помещен в начало системы отсчета. Тогда расстояние до галактики, определенное по видимой светимости, можно найти по формуле
L=(Bfb)1/2 = р, RtIR1 = O0 (P1W1) R0IR1 = O0 (P1^1) (1 + г). (12.257)
Здесь мы использовали (12.210) и (12.202). Из (12.191), (12.212) и из формул разложения sin -ф и sh в ряд получаем
Pl. = У hOi"= i__L^2+- ^ (12.258)
*Pi t?0 (2«+1)! 6 6 Rl ^ 1 ;
Сравнивая (12.257) и (12.258), находим связь между L — расстоянием до галактики, полученным по видимой светимости, и стандартным расстоянием ао- При малых г L и O0 совпадают. Используя разложение O0 в ряд (12.212) и пренебрегая членами порядка г3, получаем
378
L = (CR0IR0) г+ (CR0 (R0R0 + R20)I2RI)z* + ... , (12.259)
или обращая,
г - (R0IcR0) L-(R0R9 + R20) L*/2c* R20 + ...,
= H0Lfc-(H0 +2Hl)L*l2c* + ... . (12.260)
Индекс кривизны ?, имеющий место в (12.258), в (12.260) появится только в члене третьего порядка по г.
Непосредственно измеряемыми астрофизическими величинами являются видимая звездная величина т и видимая светимость Ь. Если допустить, что абсолютная светимость В примерно одинакова для всех галактик на протяжении всей истории наблюдений, то L = (BIb)1'2 можно рассматривать как наблюдаемую величину, и соотношения (12.259) и (12.260) проверить при измерении величин b и г. В принципе, такие наблюдения позволяют найти H0 и H0 и даже сделать некоторые выводы о кривизне физического пространства реальной Вселенной, беря разложение до третьего порядка. Однако в действительности возможно было только определить H0 с достаточной степенью точности. Даже знак H0 еще не был экспериментально установлен. (Cm. литературу на стр. 394. — Прим. ред.)
Астрономы имеют еще одну возможность проверки теории, заключающуюся в подсчете числа галактик с красным смещением, меньшим данного z в заданном телесном угле со. Это число N является функцией г (или 1?), т. е. пропорционально со, но не зависит от направления, что следует из предположения
об изотропии Вселенной. В соответствии с (12.247) элемент объема пространства равен
dV — y1/2 dtydBdy = R3 р2 d \pdv), (12.261)
где
dm = sin QdBd*.р (12.262)
— бесконечно малый угол. Интегрируя по 0 и ср внутри о) и по і|з от 0 до получаем для конечного объема в момент наблюдения
ф«
V0 = OiR^ jV dyP- (12.263)
о
Умножая F0 на нынешнюю плотность галактик п0, одинаковую по всему пространству (однородность), для искомого числа галактик находим
Фі
N = n0V0 = n0 (й R30 j р2 di|j. (12.264)
о
Интегрирование в (12.264) легко выполнить, если использовать разложение (12.258)
j p2dij)= jV(l— ?і);2/3 + ...)<іг|з = і|з“ h----g-Ч5? + ---4)/з. (12.265)
0 0 ' Следовательно,
N (I _ ^JbRl +...). (12.266)
Наконец, с помощью (12.212) получим функцию N (z) в виде ряда по степеням г.
N (г) = п0 (ос3 (z3/3H0 + Я0 z4/2//q + •••)• (12.267)
которая может быть, в принципе, использована для независимого определения H0 и H0. Чтобы получить информацию о ?, нужно использовать высшие члены этого разложения.
