Пособие для самостоятельного обучения решению задач по физике в вузе - Мелёшина А.М.
Скачать (прямая ссылка):
вероятность легко получить из формулы (4). Для этого построим декартову
систему координат, где по осям отложены значения V*, Vy, Vz, а затем -
сферическую систему координат (см у
М3.1), в которой роль расстояния от точки до центра играет величина v
(рис. 70) Любая
Ж|ит в шаровом слое между
радиусами v и v+dv. Чтобы получить эту вероятность, нужно в выражении (4)
заменить декартовы координаты сферическими, а затем проинтегрировать
полученное выражение по углам-
f(\x,v", v2)dv-cdvvdvz= Csexp[-mv2/(2(c))]y2 sin % dxd<pdv;
Любая точка, лежащая в сферическом слое между сферами радиусов v и v+dv,
характеризует скорость, имеющую значение, лежащее между v и v+dv. Поэтому
интересующая нас вероятность есть вероятность того, что точка,
характеризующая скорость, ле-
точка А на сфере радиусом v характеризует скорость, имеющую значение v
Начертим сферу радиусом v+dv
Рис 70
я
0
т я 2ч
/ sin xdx=-COS х | =2, / d(p=2n.
) 0 0
Поэтому
f (v) dv = C3 exp [-mv2/ (20) ] 4na2dv,
157
или
dN (v) /N = f (v) dv=Ctv2 exp [-mv2/ (2kT) ] dv, где Ci - коэффициент
нормировки, определяемый из уело-
ОО __
вия / f (v) dv= 1: Ci = 4i/n[m/(2kT)]3/2.
О
П римечание В экспоненте распределения Максвелла стоит кинетическая
энергия, деленная на (c)=кТ Кинетическая энергия равна mv2/2, когда частица
моделируется точкой Если такая модель нецелесообразна (например, когда
нужно учесть вращение двухатомной молекулы), кинетическая энергия в
степени экспоненты будет иметь более сложный вид
4.4. Вид функции распределения по координатам зависит от вида
потенциальной функции взаимодействия между частицами газа и от характера
полей, действующих на систему извне. Если связь между частицами
достаточно сильная, то вещество находится в конденсированном состоянии
(твердом или жидком), если связь слабая, вещество газообразно. Вообще
говоря, в газовой фазе также имеется взаимодействие между частицами,
однако часто частицы находятся на таких больших расстояниях, что это
взаимодействие очень мало.
Если газ настолько разрежен, что взаимодействием между его частицами
можно пренебречь, он называется идеальным. Для идеального газа
вероятность распределения частиц по координатам описывается
распределением Больцмана: dN(х, у, z)/N=df (х, у, г) = С2 ехр [-U(х, у,
z)/(kT)]dxdydz, где Сг - коэффициент нормировки; U (х, у, z)-
потенциальная энергия частицы во внешнем поле. Например, если газ
находится в поле силы тяжести, U(x, y,z) =mgz, где ось z направлена
вертикально вверх.
4.5. Для идеального газа вероятность того, что его частица имеет
координаты, лежащие в пределах х, x+dx; у, y+dy; z, z+dz, и скорости,
находящиеся в пределах vx, vx+dvx; vy, Vy-(-dvy;
vz,vz+dvz, есть
dF (x, y, z, v*, vy, Vz) =
= const exp {- [m/2 (v^-f vy2+vz2) +U (x, y, z) ]/ (kT)} X X
dxdydzdvxdvydvz.
Эта вероятность называется функцией распределения Максвелла-Больцмана.
Она верна только для равновесного состояния идеального газа.
Примечание Во всех функциях распределения выражение перед дифференциалами
аргументов есть плотность вероятности
158
4.6. Зная функцию распределения, можно построить среднее значение
величины, зависящей от координат и скоростей частиц: L(x, у, г, v*, vy,
vz). По определению (Ml0.5), среднее значение
<L>= / L(x,y, z, yx, Vy, vz) dF(x, y,z, v*,v", vz),
где интеграл берется по всем значениям аргументов.
4.7. Пример. Вычислить среднее значение квадрата скорости молекул газа,
имеющих массу т, если газ находится в термодинамическом равновесии с
термостатом температуры Т.
ОО
Решение. <v2>= /v24/fn[m/(2kT)]3/2v2 ехр{-mv2/
0
(2kT)}dv / C2e~UJ (tT)dxdydz. Второй интеграл, в силу условий нормировки,
равен единице. Вынеся в первом интеграле
ОО
за его знак постоянные, получим: fv4exp[-a2v2]dv, где
0
a2=m/(2kT). С учетом значения этого интеграла (см. таблицы интегралов, а
та!кже М5.6) найдем: оо
/ x2ne_a2*2d\= 1 • 3-5 ... (2n-l)fn/(2n+Ia2n+I).
0
В нашем случае п = 2, т. е.
ОО
J у4е-(tm)2 > {2hT) dv = ЗУя7{23/ [ш/ (2кТ)]5 /2}.
0
Учитывая коэффициент нормировки, имеем: <v2> = 3kT/m.
Примечание Если в формуле <v2> = 3kT/m числитель и знаменатель правой
части умножить на число Авогадро Na> то, так как kNA = R и mNA = Mr -
масса 1 кмоля газа, получим удобную для расчета формулу <v2>=3RT/Mr, где
R = 8,3-№ Дж/кмоль-К; Мг - молекулярная масса газа.
4.8. В термодинамике уравнение состояния идеального газа выводилось на
основании экспериментальных данных. Молекулярно-кинетическая теория
позволяет вывести его, исходя из представлений о движении молекул. Идея
вывода состоит в следующем. Взаимодействия между молекулами считаются
мгновенными и заключающимися в обмене скоростями при столкновении (модель
упругих шаров), в результате чего устанавливается термодинамическое
равнове-
159
сие (см. п. 4.2). При ударе о стенку сосуда молекула сообщает ей импульс.
В единицу времени единица площади стенки получает от большого числа
ударяющихся в нее частиц импульс, который равен силе (см. гл. 1, п. 7.1),
