Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
поступательной v0 = dMdt\
2) вращательной v' - [to, г], где w = = da/dt, а началом отсчета радиуса-
вектора г является точка О', через которую проходит ось вращения тела.
Эта точка, будучи одной из точек тела, имеет поступательную скорость v0.
Следовательно,
v = vo + [(r), г].
(10.5)
10. Движение твердого тела
71
22.
Разложение скорости дай-жения точек твердого тела на поступательную и
вращательную неоднозначно
В обоих случаях, разделенных знаком равенства, полная скорость любой
точки вдоль прямой АВ, равная сумме поступательной и вращательной
скоростей, одна н та же
Поскольку разложение перемещения на поступательное и вращательное
неоднозначно, неоднозначным является и разложение скорости на
поступательную и вращательную, что поясняется на рис. 22 в виде
символического равенства: в его левой части движение слагается из
поступательного со скоростью и и вращательного вокруг оси О, а в правой
части - из поступательного со скоростью и', меньшей, чем и, и
вращательного вокруг оси О'.
Изменяя поступательную скорость тела, мы одновременно изменяем положение
оси вращения. Можно сказать, что любая ось, перпендикулярная плоскости
движения, представляет собой ось вращения.
При этом поступательная скорость тела будет зависеть от того, какая ось
выбрана за ось вращения. Та ось вращения, для которой поступательная
скорость равна нулю, называется мгновенной осью вращения.
Скорость всех точек тела в данный момент может быть представлена как
скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси. Поступательная
скорость точки твердого тела, через которую про-
чем определяется число степеней свободы механической системы!
Чему равно число степеней свободы твердого тела в различных случаях
движения!
Каково геометрическое определение углов Эйлера!
Как доказывается возможность разложения скорости плоского движения
твердого тела на сумму поступательной и вращательной скоростей! Что такое
мгновенная ось вращения! Можете пи Вы привести примеры мгновенной оси
вращения в простейших случаях движения!
72
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
ходит мгновенная ось, равна нулю. Но и вращательная скорость этой точки
равна нулю, поскольку она лежит на оси вращения. Следовательно, скорость
всех точек твердого тела, лежащих на мгновенной оси, равна нулю. Если
рассматриваемое твердое тело имеет конечные размеры, то мгновенная ось
может лежать вне тела, однако ее свойства и определение остаются,
конечно, теми же самыми.
На рис. 21, б показано построение для нахождения оси, движением вокруг
которой плоское перемещение твердого тела представляется в виде чистого
вращения. Точка О, через которую проходит ось, расположена на пересечении
перпендикуляров к АА' и ВВ\ Это видно из того обстоятельства, что
треугольники АВО и А'В'О равны, поскольку сторона ОВ равна OB' и сторона
О А равна О А', как проведенные к концам отрезка из точки на
перпендикуляре к его середине, а сторона А В равна А'В', поскольку это
один и тот же отрезок в разных положениях. В случае бесконечно малого
перемещения это построение дает точку О, через которую проходит
мгновенная ось вращения. С течением времени положение мгновенной оси
меняется относительно тела и относительно системы координат, в которой
рассматривается движение тела.
Проиллюстрируем это на примере катящегося по прямой линии колеса. Его
мгновенной осью вращения является прямая, параллельная оси колеса и
проходящая через точку соприкосновения колеса с землей (рис. 23). Эта ось
меняет свое положение относительно земли. За время t она перемещается в
точку, отстоящую от первоначальной на величину vt, где v - скорость
движения оси колеса. Мгновенная ось в разные моменты времени проходит
через различные точки колеса, перемещаясь вдоль обода. Мгновенная ось -
это воображаемая ось, которая не имеет своего материального носителя.
Поэтому говорить о скорости движения мгновенной оси не имеет физического
смысла.
Например, если линейка падает на поверхность стола, будучи ей
параллельна, то можно сказать, что точка соприкосновения линейки со
столом движется с бесконечной скоростью. Но в действительности в этом
явлении нет материального носителя, который движется с бесконечной
скоростью. Примерно такой же характер имеет и "скорость" мгновенной оси
вращения. Физический смысл имеет не скорость движепия мгновенной оси, а
именно тот факт, что точки материального тела, лежащие на мгновенной оси,
покоятся в рассматриваемый момент времени и движение тела сводится к
вращению вокруг этой оси.
Все сказанное выше относилось к плоскому движению тела. Теперь рассмотрим
тело, закрепленное в одной точке. Спрашивается, может ли мгновенное
движение этого тела быть представлено в виде вращения вокруг некоторой
оси, проходящей через зак-
10. Движение твердого тела
73
репленную точку тела? Ответ на этот вопрос дает теорема Эйлера, которая
гласит:
твердое тело, имеющее одну закрепленную неподвижную точку, может быть из
