Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Если величина не изменяет своего численного значения при. преобразовании
координат, то это означает, что она имеет объективное значение,
независимое от выбора той или иной системы координат. Такие величины
отражают свойства самих изучаемых явлений и предметов, а не отношения
этих явлений и предметов к системе координат, в которой они
рассматриваются. Величины, численное значение которых не изменяется при
преобразовании координат, называются инвариантами преобразований. Они
имеют первостепенное значение в физической теории. Поэтому необходимо
изучить инварианты преобразований Галилея.
Инвариантность длины. Пусть в штрихованной системе координат находится
стержень, координаты концов которого (х[, у[, z[) и (х'ъ Ук, zQ. Это
означает, что длина стержня в штрихованной системе равна I - (х2 - х[)2
(г/2 - у'\)2 + (гг- z{)2. В нештрихованной
системе координат стержень движется поступательно и все его точки имеют
скорость v. Длиной движущегося стержня, по определению, называется
расстояние между координатами его концов в некоторый момент времени.
Таким образом, для измерения длины движущегося стержня необходимо
одновременно, т. е. при одинаковых показаниях часов неподвижной системы
координат, расположенных в соответствующих точках, отметить положение
концов стержня. Пусть засечки положения концов движущегося стержня
сделаны в неподвижной системе координат в момент t0 и характеризуются
координатами (xi, Уи Zi) и (х2, у2, z2). Согласно формулам преобразования
(12.1), координаты и время в движущейся и неподвижной системах связаны
соотношениями:
х[ = хх - vt0,
yi = yi,
Zi = Z2, tl = to,
X2 = X2 - Vt0, 2/2 = 2/2,
Z2 Z2, iz ~ to.
(12.3)
12. Преобразования Галилея
83
Отсюда следует:
Х2 - х[ = хг - хи У2 - у[ = Уг - Уъ Z2 - z[ = Z2 - Zi
и поэтому
I = У(х2 - X\f + (У2 - y'lf + (Z2 - z[f =
= У(х2- Хг)2 + (y2 - y{f -f (z2 - Zi)2 = I',
(12.4)
т. e. длина стержня в обеих системах координат одинакова. Это позволяет
утверждать, что длина является инвариантом преобразований Галилея.
Абсолютный характер понятия одновременности. Обратим внимание на
последнюю строчку в формуле (12.3): эти равенства показывают, что в тот
момент, когда засекались концы движущегося стержня в неподвижной системе
координат, часы, расположенные в тех точках движущейся системы координат,
с которыми совпадают концы стержня, показывают одно и то же время. Это
является следствием формулы преобразования времени от одной системы
координат к другой в виде t' = t. Она говорит, что события, одновременные
в одной системе, одновременны и в другой, т. е. утверждение об
одновременности двух событий имеет абсолютный характер, независимый от
системы координат.
Инвариантность интервала времени. Инвариантность интервала времени
доказывается на основании формулы преобразования t' = t. Пусть в
движущейся системе координат произошли события в некоторые моменты t[ и
t2. Интервал времени между этими событиями
В неподвижной системе координат эти события на основании (12.2) произошли
в моменты tx = t[ и t2 •- t2 и, следовательно, интервал времени между
ними
Таким образом, можно сказать, что интервал времени является инвариантом
преобразований Галилея.
Д*' = *я -<!.
(12.5)
ht = t2 - ti = tz -1\ = At'.
(12.6)
84
Глава 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ
Сложение скоростей. Пусть в штрихованной системе координат движется
материальная точка, зависимость координат которой от времени описывается
формулами:
*'=*'(*'), У'=У'{1% 2'= 2' (О. (12-7)
а компоненты скорости равны:
/ dx f dy / dz /40 o\
Ux=zHF' uv = ~d7' Uz = dF• (*2*8)
В неподвижной системе координат на основании (12.2) координаты этой точки
изменяются со временем по закону:
а: (") = *'("') + "'. z{t) = z'(t'),
= t = r, ( °
а компоненты ее скорости даются равенствами:
их dx _ dx ' + dt9 dx'
dt dt vTt- = dt7
иУ dy _ dt ii = I! - Uy,
dz dz' dz' /
иг dt dt IF ~ = uz,
dV_
dt'
ux-\-v,
(12.10)
которые являются формулами сложения скоростей классической
нерелятивистской механики.
Инвариантность ускорения. Дифференцируя равенства (12.10) с учетом того,
что dt = dt', получаем:
d'hc dty dhj dV d2z cPz'
dt2 dt'2 ' dt2 dt'2' dt2 ~ dt'2 '
(12.11)
Эти формулы показывают, что ускорение инвариантно относительно
преобразований Галилея.
13. Постоянство скорости света
Справедливость преобразований Галилея может быть проверена сравнением
следствий из Них с экспериментом. Важнейшим следствием является формула
сложения (12.10). Именно проверка этой формулы показала ее приближенный
характер. Отклонения от нее тем значительнее, чем больше скорость.
Особенно они велики при скоростях, близких к скорости света. Эти
отклонения впервые были
13. Постоянство скорости света
85
открыты при исследовании скорости света, поведение которой с точки зрения
классической физики оказалось не только странным, но и необъяснимым.
Поэтому необходимо прежде всего рассмотреть вопрос о скорости света.
Развитие взглядов на скорость света. Античные мыслители имели о свете
