Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
Если начало отсчета расположить в произвольной точке оси вращения (рис.
18, точка О), то, как это видно из рисунка, скорость материальной точки
может быть выражена через вектор угловой скорости по формуле
v = J>, г]. (9.4)
3 Механика и теория относительности
Вектор угловой скорости точки, движущейся па окружности радиуса R,
направлен перпендикулярно плоскости движения
66
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
Угловым ускорением называется вектор d(d/dt. При движении по окружности
вектор to меняется лишь по значению', а по направлению совпадает с
неизменной осью вращения. Используя формулу (8.4), находим полное
ускорение точки:
(9.5)
где учтено, что (drldt) = у. Поскольку в рассматриваемом случае вектор
углового ускорения da>/dt совпадает с осью вращения, первый вектор в
правой части (9.5) направлен по касательной к траектории. Это есть
тангенциальное ускорение. Второй вектор дает в (9.5) нормальное
ускорение. Таким образом,
= , г], wn=[w, v], w = wT + wn. (9.6)
Эти формулы справедливы только тогда, когда ось вращения не изменяет
своего направления в пространстве.
10. Движение твердого тела
Степени свободы. Твердым телом называется совокупность материальных
точек, расстояние между которыми постоянно. Поэтому его движение сводится
к движению составляющих точек. Движение каждой точки описывается тремя
функциями (координатами). Следовательно, если твердое тело состоит из N
точек, то его движение должно описываться 3N координатами. Однако они не
независимы, потому что расстояние между любыми двумя точками в твердом
теле постоянно. Благодаря этому нет необходимости для описания движения
твердого тела использовать громадное число 3N функций. Число независимых
функций (или, как чаще говорят, параметров), которыми определяется
движение некоторой совокупности, или системы, материальных точек,
называется числом ее степеней свободы.
Движение материальной точки описывается тремя параметрами и поэтому число
ее степеней свободы равно трем. Число степеней свободы двух материальных
точек, движущихся независимо друг от друга, равно 6. Если же эти две
материальные точки жестко связаны между собой некоторым стержнем
неизменной длины I, то шесть координат двух точек уже не являются
независимыми величинами, потому что между ними имеется соотношение I2 - =
(х2 - хг)г 4- (у2 - уг)2 4- (z2 - Zj)2, в котором (xlt ylt Zl) и (х2, у2,
г2) -декартовы координаты точек. С помощью этого равенства одну из шести
координат можно выразить через величину I и остав-
10. Движение твердого тела
67
шиеся пять координат. Таким образом, остается лишь пять независимых
параметров для описания движения двух жестко скрепленных материальных
точек. Следовательно, эта система имеет пять степеней свободы.
Число степеней свободы твердого тела. Для того чтобы жестко закрепить
твердое тело, необходимо закрепить какие-либо три его точки, не лежащие
на одной прямой. Положение этих трех точек полностью определяет положение
твердого тела и описывается девятью параметрами, между которыми имеются
три равенства, выражающие постоянство трех расстояний между этими
точками. Следовательно, чтобы найти положение твердого тела, необходимо
задать шесть независимых параметров, т. е. число степеней свободы
твердого тела i = 6. Эти шесть независимых параметров можно задавать
различным образом.
Движение твердого тела, закрепленного в точке. Удобно использовать три
параметра для указания положения какой-либо точки твердого тела, а
оставшимися тремя параметрами описывать положение твердого тела,
закрепленного в этой точке. Кинематика движения точки была уже подробно
проанализирована. Поэтому остается рассмотреть лишь движение твердого
тела, закрепленного в точке. Его описание осуществляется с помощью углов
Эйлера.
Углы Эйлера. Свяжем с твердым телом жестко систему координат (х', у',
z'), которая полностью характеризуется единичными векторами i', j', к'.
Начало этой системы координат, а также начало системы координат (х, у,
z), в которой рассматривается движение тела, совпадают с точкой
закрепления твердого тела (рис. 19). Положение его полностью определяется
положением осей (х\ у', z') относительно осей (х, у, z).
Плоскости О'х'у' и Оху пересекаются по линии Ох\, называемой линией
узлов. Положительное направление вдоль этой линии задается вектором т =
[к, к']. Углами Эйлера называются углы:
По определению этих углов видно, что они являются независимыми
переменными и полностью характеризуют положение твердого тела,
закрепленного в одной точке. Произвольное движение тела можно описать
заданием трех функций:
Поступательное движение. Поступательным движением твердого тела
называется такое, при котором все его точки движутся по одинаковым
траекториям. Это означает, что скорости всех то-
ф= 1_хОч\ (0 ^ ф ^2я), 6 = l_zOz' (0 ^ б^я), ? = /_цОх' (0<?<2л).
(10.1)
Ф = Ф(*), 0 = 0(0, ? = ?(0-
(10.2)
68
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
