Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
чала координат с центром окружности и при других ориентировках осей
координат.
Описание движения в векторной форме. Положение точки может быть задано с
помощью радиуса-вектора г относительно некоторой точки, принятой за
начало. Как было отмечено в § 5, такое задание положения точки
предполагает не введение какой-то системы координат, а только наличие
тела отсчета. Радиус-вектор г рассматривается как непосредственно
задаваемая величина. При движении точки радиус-вектор ее непрерывно
меняется. Конец его описывает траекторию. Движение задается в
бескоординат-ной форме:
г = г(?). (8.4)
Формула этого вида определяет векторную функцию скалярного аргумента.
Векторной функцией скалярного аргумента называется правило, по которому
каждому численному значению аргумента (в данном случае t) соотносится
некоторый вектор (в данном случае г). В формуле (8.4) это правило
обозначается как г в правой части, а вектор, получаемый по этому правилу,
- как г в левой части. Так же как и в формулах (8.1), такое употребление
одного и того же символа в двух различных смыслах путаницы не вызывает.
Формулами (8.2а) - (8.2в), имеющими различный вид, описывается одно и то
же движение. Чтобы представить это движение в виде (8.4), обозначим через
т единичный безразмерный вектор в направлении движения, а начало отсчета
радиусов-векторов совместим с точкой начала движения. Тогда
рассматриваемое движение описывается формулой, не зависящей от системы
координат:
г = т At. (8-5)
Подчеркнем еще раз, что формулу (8.4) следует понимать не как краткую
запись трех скалярных равенств вида (8.1), а как
58
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
13.
К понятиям перемещения, скорости и ускорения
Средняя скорость при движении между двумя точками траектории совпадает по
направлению с вектором перемещения. Она, вообще говоря, не направлена по
касательной к траектории ни в начальной, ни в конечной точке Точка О -•
начало отсчета
I
Скорость всегда направлена по касательной к траектории.
I
Ускорение мотет составить любой угол относительно скорости, т. в. мотет
быть направлено под любым углом к траектории.
Какие способы описания движения Вы знаете!
В чем состоят преимущества векторных обозначений и векторной записи
движения!
исходную, которую при необходимости можно расписать в виде трех скалярных
равенств, но существует она независимо от возможности такого
представления.
Описание движения с помощью параметров траектории. Если траектория
задана, то задача сводится к указанию закона движения вдоль нее.
Некоторая точка траектории принимается за начальную, а любая другая точка
характеризуется расстоянием s вдоль нее от начальной точки. В этом случае
движение описывается следующей формулой:
s - s(t). (8.6)
Например, закон движения по окружности, задаваемого формулой (8.3а),
имеет вид
s = At, (8.7)
причем известными являются окружность и точка начала движения. Отсчет
положительных значений s совпадает с направлением движения точки по
окружности.
Вектор перемещения. Вектор перемещения Аг - г (t + At) - г (t) численно
равен расстоянию между конечной и начальной точками, направлен от
начальной к конечной (рис. 13) и соединяет
8. Перемещение, скорость и ускорение материальной точки
59
точки траектории, в которых материальная точка находилась в моменты t и t
+ Af.
Скорость. Вектор средней скорости vcp при перемещении между двумя точками
определяется как вектор, совпадающий по направлению с перемещением и
равный абсолютному значению вектора перемещения, деленному на время
перемещения (рис. 13):
и , I а ,\ Дг I Дг I Дг оч
vCp(<, * + А0 = |дТ|-дГ - дг- (8-8)
В скобках у vcp указан промежуток времени, для которого средняя
скорость вычислена. Если в пределах промежутка At рассмо-
треть более маленькие промежутки времени, то средняя скорость на них
отличается от средней скорости на всем промежутке. Будем уменьшать
промежуток времени. Тогда будут уменьшаться и все более мелкие промежутки
времени. Средние скорости в этих более мелких промежутках будут по-
прежнему отличаться от средней скорости во всем промежутке, но это
различие уменьшается с уменьшением промежутка At. При неограниченном
уменьшении At средняя скорость стремится к предельному значению, которое
называется мгновенной скоростью v:
(8.9)
В декартовой системе координат, представив г в виде г (t) = \х (t)jy (t)
+ kz (t)
и учтя, что величины i, j, к постоянны по времени, получаем dr . dx . dy
, . dz ,Q
v=*=,s+Ji+ks- <8-10>
Следовательно, компоненты скорости даются формулами:
(8.11)
Если движение задано через параметры траектории, то известны траектория и
зависимость пути от времени. Путь отсчитывается от точки траектории,
принятой за начальную. Каждая точка траектории характеризуется своим
значением s. Следовательно, ее радиус-вектор является функцией от s и
траектория может быть задана уравнением
г = г(в).
(8.12)
60
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
