Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
19.
Углы Эйлера характеризуют взаимное расположение двух прямоугольных
декартовых систем координат
Плоскость (ху') пересекает плоскость (х, у) по линии TJ
I
Угловая скорость- это вентор, потому что она определяется через
бесконечно малое элементарное угловое перемещение, которое является
венто-ром. Средняя угловая снорость при повороте на конечный угол - не
вентор, хотя и может быть охарантеризована абсолютным значением и
направлением.
чек тела в любой момент времени одинаковы. Любая прямая, проведенная
между какими-либо точками тела, перемещается параллельно самой себе. Углы
Эйлера при поступательном движении постоянны. Таким образом, это движение
полностью характеризуется заданием движения какой-либо одной точки тела,
т. е. поступательно движущееся тело имеет три степени свободы. В
кинематическом отношении это движение полностью эквивалентно движению
материальной точки.
Плоское движение. Плоским называется движение, при котором траектории
всех точек лежат в параллельных плоскостях. Движение тела в этом случае
полностью определяется движением одного из его сечений в какой-либо из
параллельных плоскостей, а положение сечения - положением двух точек
этого сечения. Положение двух точек на плоскости характеризуется четырьмя
параметрами (координатами). Между этими параметрами имеется одно
соотношение, выражающее постоянство расстояний между двумя точками.
Следовательно, имеются
10. Движение твердого тела
69
лишь три независимых параметра, т. е. число степеней свободы равно трем.
Вращательное движение. Вращательное движение - это такое, при котором две
точки тела остаются все время неподвижными. Прямая, проходящая через эти
точки, называется осью вращения. Все точки твердого тела, лежащие на оси
вращения, неподвижны. Другие точки твердого тела движутся по окружностям
в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры этих окружностей
лежат на оси вращения. Можно определить вектор угловой скорости (о так
же, как в (9.3). Если начало отсчета радиуса-вектора г расположить на оси
вращения, то скорость любой точки вращающегося твердого тела
Положение системы с шестью степенями свободы полностью харантв-ризувтся
заданием шести чисел, называемых координатами. Они произвольны. Важно
лишь проверить, что они независимы. Углы Эйлера-один из возможных
выборов, обладающий рядом удобств.
v - [о, г].
(10.3)
Если расстояние точки твердого тела от оси вращения равно R (см. рис.
18), то для нормального, тангенциального и полного ускорений, так же как
и в § 9, получим следующие формулы:
wn - о)2i?, wx = (о R, w = R )Лй4 + со2.
(10.4)
(Буквенное обозначение с точкой выражает производную по времени.) Из этих
формул видно, что векторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих
на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения,
параллельны друг другу и увеличиваются пропорционально расстоянию от оси
вращения (рис. 20). Угол а, характеризующий направление ускорения
относительно радиуса, как это видно на рис. 20, определяется соотношением
tg а = (wx/wn) = = (Ь/со2, т. е. не зависит от R.
В векторной форме ускорение точек твердого тела, ось вращения которого
При удалении от оси вращения полное ускорение остается неизменным по
направлению, но растет по абсолютному значению
Ось вращения (точка О) перпендикулярна плоскости чертежа
70
Глава 2. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
а)
21.
Разложение перемещения на поступательное и вращательное неоднозначно и
может быть произведено бесконечным числом способов, но угол вращения во
всех случаях один и тот же
не изменяет направления в пространстве, дается формулами (9.6), которые
здесь нет необходимости выписывать еще раз.
Мгновенная ось вращения. В плоском движении положение твердого тела
полностью определяется положением одного из его сечений в соответствующей
плоскости, параллельно которой движутся все точки тела, а положение этого
сечения в плоскости - положением отрезка прямой, жестко связанной с
точками тела в этом сечении. Рассмотрим перемещение этого отрезка в
течение некоторого промежутка времени из положения А0В0 в положение А В
(рис. 21, а). Это перемещение может быть разложено на два:
1) поступательное из А0В0 в А'В', при котором прямая перемещается
параллельно самой себе; 2) вращательное, при котором твердое тело
поворачивается на угол а вокруг оси, проходящей через точку О'
перпендикулярно плоскости движения твердого тела. Это разложение
перемещения неоднозначно: можно было бы, например, поступательно
переместить прямую из положения А0В0 в положение А" В", а вращение на
угол а произвести вокруг оси, проходящей через О".
Таким образом, разложение перемещения на поступательное и вращательное
неоднозначно, однако угол поворота а при перемещении всегда один и тот
же. В течение времени dt происходит одновременно поступательное
перемещение всех точек тела на с?1 и элементарное угловое перемещение da
вокруг О'. Поэтому скорость всех точек тела слагается из двух: 1)
