Механика и теория относительности - Матвеев А.Н.
ISBN 5-329-007242-9
Скачать (прямая ссылка):
соотношение формально можно переписать в виде
е <4'4а>
еа eg
ИЛИ
'^кУ44' (4-4б)
Численное значение величин еа, еь, ес, по определению, равно 1. Поэтому
стоящая в скобках (4.46) величина численно равна величине А, но является
размерной. Обозначим ее через А' и запишем физический закон (4.46) в
форме
с = А'а?Ъ<1. (4.4в)
Именно в такой, а не в безразмерной, форме (4.4) выражаются обычно
физические законы.
Правила нахождения размерностей сложных выражений сводятся к следующим
двум:
И-й- ["ч-мю-
(4.5)
Поэтому размерность величины А в (4.4в) равна
где учтено, что А является безразмерным числом. Благодаря этому
обеспечивается одинаковая размерность левой и правой частей равенства
(4.4в).
Математические равенства возможны лишь между физическими величинами
одинаковой размерности. При изменении систем единиц
4. Системы единиц физических величин
27
измерения размерность физических величин, вообще говоря, меняется. Однако
если две физические величины имеют одинаковые размерности при какой-либо
одной системе единиц, то их размерности будут одинаковыми и при любой
другой системе. Хорошим и быстрым контролем отсутствия грубых ошибок в
формулах при вычислениях является проверка размерностей в левой и правой
частях равенств, а также различных членов, входящих в суммы и разности,
поскольку складывать и вычитать можно лишь физические величины одинаковой
размерности. Поэтому если размерности левой и правой частей равенства не
совпадают или в формуле производится вычитание или сложение величин с
различными размерностями, то наверняка можно сказать, что допущена
ошибка. Легче всего обнаружить ошибку, когда безразмерное число
складывают с размерной величиной или вычитают из нее.
Выбор основных единиц.
Выбор физических величин, единицы которых принимаются за основные,
является делом соглашения. С принципиальной точки зрения нельзя указать
мотивы предпочтительности одной физической величины перед другой.
Однако с практической точки зрения не все единицы одинаково подходят для
роли основных. Дело в том, что основная единица должна быть определена
прямым указанием на материальный объект и физические процедуры, которые
эту единицу реализуют. Поэтому возникают вопросы неизменности
материального объекта, воспроизводимости процедур, удобства реализации и
т. д. С учетом этих обстоятельств произвол в выборе основных единиц
существенно снижается. Поэтому не удивительно, что в многочисленных
системах единиц в качестве основных наряду с другими берутся почти
неизменно единицы длины, времени, массы.
Число основных единиц. Максимальным числом основных единиц является число
всех физических величин, которые измеряются; каждая физическая величина
измеряется своей единицей. Например, каждая из величин: скорость и,
расстояние I и время t - измеряется с помощью своей единицы. Размерность
единицы измерения совпадает с размерностью физической величины. В данном
случае этими размерностями являются размерности скорости [у] = V, длины
[I] = L и времени [t] = Т.
Изучение равномерного движения позволяет установить следующий закон:
где А - размерная постоянная. Численное значение ее зависит от выбора
единиц измерения скорости, длины и времени, а размерность дается формулой
I = Aut,
(4.7)
[A] = LT-1V~K
(4.8)
28
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ
При данном выборе системы единиц равенство (4.7) является универсальным
соотношением между I, и и I, а постоянная А - универсальной постоянной.
Пользуясь этим, можно в качестве основных величин выбрать какие-либо две
(например, L и Т), а размерность и величину третьей единицы (т. е. V)
выбрать таким образом, чтобы А стала безразмерной, равной единице. Для
этого в качестве единицы измерения скорости надо принять такую скорость,
при которой за выбранную единицу времени проходится выбранная единица
расстояния, а размерность этой единицы скорости должна быть такой, чтобы
величина А в (4.8) стала безразмерной, т. е.
Благодаря такому выбору единиц измерения соотношение (4.7) принимает вид
I = ut, а единица скорости перестает быть основной, превращаясь в
производную единицу с размерностью LT~X. В качестве основных остались две
единицы - длины и времени.
Произведем дальнейшее сокращение числа единиц. Для этого воспользуемся
фундаментальным законом постоянства скорости света, о котором подробно
будет сказано позднее. Луч света, распространяясь со скоростью с, за
время t пройдет расстояние
Скорость света с в этом соотношении является универсальной размерной
постоянной, не зависящей ни от системы координат, ни от скорости
источника или наблюдателя. Как и в предыдущем случае, выберем в качестве
основной единицы, например, время, а другую единицу сделаем производной и
определим так, чтобы с стала безразмерной величиной, равной единице. Для
этого размерность длины должна совпадать с размерностью времени, т. е.
Если в качестве единицы времени выбрать 1 с, то длина I будет измеряться
числом секунд, затрачиваемых светом для прохождения I. Например, длина
