Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
операциями симметрии, для которых
Основы теории динамики решетки
51
Sk=k или Sk=k+t, и используя соотношение
С°р (\i ') = ^2я/т'|х(х)'х<х')| Саэ Ц,). (2.2.22)
Правило преобразования D(k) несколько более сложно, чем (2.2.21). Этим и
объясняется то, что мы выбрали для обсуждения свойства симметрии матрицы
С (к), а не D(k).
§ 3. Нормальные координаты кристаллической решетки
Функция Гамильтона кристалла (2.1.7) представляет собой сумму двух
квадратичных форм, одна из которых составлена из компонент импульсов, а
другая из компонент смещений атомов в кристалле. Эти квадратичные формы,
соответствующие кинетической и потенциальной энергиям, будут положительно
определенными, и, согласно известной теореме матричной алгебры [26],
существует преобразование, одновременно приводящее к диагональному виду
матрицы выражений для кинетической и потенциальной энергий в функции
Гамильтона. Такое преобразование к главным осям можно осуществить при
помощи следующего разложения величин
Иа(и) в Ряд по плоским волнам:
-(О-тячгЗЧ-Г/М^-*-
Так как величины вещественны, то из соотноше-
ния (2.1.29а) следует, что коэффициенты Q (у) должны удовлетворять
условиям
Q ("/) = <?* (5)- (2.3.2)
Выражение для кинетической энергии, записанное с помощью величин 0(у)*
принимает вид
/, и, а к, к|
Хехр[2я/(к + к')*х(/)]. (2.3.3)
4*
52
Глава II
Используем теперь соотношение
2 е2л1к хю = Л/А (к), (2.3.4)
где величина Л (к) равна единице в тех случаях, когда вектор к равен нулю
или вектору обратной решетки, и равна нулю во всех остальных случаях.
Соотношение (2.3.4) является следствием периодичности решетки;
действительно, сумма в левой части равенства не должна меняться при
добавлении к вектору х(/) произвольного вектора решетки х(Г). Однако в
результате такого добавления сумма умножается на множитель ехр{2ш'к •
х(Г)}; следовательно, чтобы сумма при этом не менялась, необходимо, чтобы
либо она была равна нулю, либо, согласно формуле (2.2.5), вектор к был
вектором обратной решетки. В рассматриваемом случае, так как оба вектора
к и к' в формуле (2.3.3) должны принадлежать первой зоне Бриллюэна, сумма
к+к' должна быть равна нулю для того, чтобы Д(к+к') было отлично от нуля.
Поэтому, учитывая формулы (2.1.27а) и (2.1.29а), мы получаем
г=т2<г,(?)<5(5)-к
)
Аналогичным образом преобразуется и выражение для потенциальной энергии
Г. х'.Э I, J'
X Q (5) Q (5') exp [2ni [к • х(/)+к' • х№ (2.3.6)
Умножая экспоненту в правой части этого равенства на единицу, записанную
как ехр {2ш'к' • [х (/) - х (/')!}" вспоминая определение динамической
матрицы (2.1.23) и используя формулу (2.3.4), мы получаем
(2.3.5)
х, а к, к' и'.Р J.J'
Основы теории динамики решетки
S3
Применяя формулы (2.1.26), (2.1.27а) и (2.1.29а), окончательно получаем
(2-з-8)
к
Функция Гамильтона кристаллической решетки, записанная при помощи новых
координат, принимает вид
,,=тЕ{"'(5)^(5)+^(к)",(5)в(5)}- <2-з-9> к
1
Из функции Лагранжа L=*T - Ф получаем, что импульс, канонически
сопряженный координате Q*(y)* есть
(2'зл0>
и гамильтониан может быть записан в другом виде:
/,'=т2{р,(5)/>(5)+^(к)"'(5)<г(5)}- <2-311> к
J
Используя формулу (2.3.10) и уравнения движения Гамильтона
<2-3-12"
мы получаем уравнение движения, соответствующее ко-п /к\. ординате Q[j):
Q(5)+(c)5(k)Q(5)=0. (2.3.13)
Из этого уравнения следует, что каждая из новых координат является
простой периодической функцией вре-
54
Глава II
мени, характеризуемой лишь одной частотой, взятой из набора <Bj(k). В
теории динамических систем такие координаты обычно называются нормальными
координатами [27]. Каждая нормальная координата описывает одно из
независимых колебательных движений кристалла с одной частотой; такие
колебания называются нормальными колебаниями. В каждом нормальном
колебании все атомы колеблются с одной частотой и с постоянным сдвигом
фаз, и мы видим, что существует много нормальных колебаний, столько же,
сколько имеется степеней свободы кристалла, т. е. 3rN. Из формулы (2.3.1)
следует далее, что движение кристалла в общем случае представляет собой
наложение нормальных колебаний, причем каждое из нормальных колебаний
входит с соответствующим весовым множителем, равным еа(н ехр [2ш'к •
х(/)].
Характеристическая частота нормального колеба-
мы видели в гл. II, § 1, является одним из собственных значений
динамической матрицы. Кроме того, поскольку формулы (2.3.8) и (2.3.13)
показывают, что имеется взаимно однозначное соответствие между этими
собственными значениями и нормальными координатами, то мы можем полностью
отождествить величины (coj (к)} с частотами нормальных колебаний нашей
решетки.
Для многих приложений, в частности для перехода от классической механики
к квантовой, удобнее рассматривать не комплексные нормальные координаты
скольку они будут использоваться в дальнейшем, мы приведем здесь три
способа преобразования комплексных нормальных координат в вещественные.
Наиболее очевидный способ перехода к вещественным нормальным координатам
