Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
декартовой системе координат), так как в теории металлов фазовый
множитель выбирается в виде ехр {(к • х(/)}, в то время как мы выбирали
его в виде ехр {2л/к • х(/)}.
Основы теории динамики решетки
45
Бриллюэна. Рассмотрим, например, частоты <Oj(k), которые определяются
собственными значениями динамической матрицы. При операциях симметрии
куба, таких, как перестановка пары осей или отражение в плоскости,
элементы динамической матрицы остаются неизменными или меняют свой знак.
Такие преобразования эквивалентны ортогональным преобразованиям
динамической матрицы, которые не меняют ее собственных значений. Поэтому
мы можем найти частоту <Oj(k) для всех значений вектора к, решая
уравнение (2.1.24) лишь для значений вектора к, соответствующих 'Дв части
всей зоны.
Подставив формулу (2.2.66) в выражение для элементов динамической матрицы
(2.1.23), мы видим, что они принимают вид
•<"• <2-2-8>
где
1 = (/" /2, /3), 6 = (Ах, К А3). (2.2.9)
Допустимые значения вектора 6 распределены с постоянной плотностью
{L/2n)3 в кубе, две противоположные вершины которого находятся в точках
(0, 0, 0) и (2я, 2я, 2я). В дальнейшем область, заполненную допустимыми
значениями безразмерного вектора 6, мы будем иногда называть 6-
пространством.
Теперь мы должны обсудить вопрос, изменится ли распределение собственных
значений, если мы наложим конкретные граничные условия и устремим N к
бесконечности. В течение многих лет допустимость такого способа действия
не подвергалась сомнениям, пока Раман и его последователи [21] не
выдвинули против него определенные возражения. Эти возражения были
тщательно рассмотрены и опровергнуты Ледерманом [22, 23], хотя много лет
назад Вейль [24] получил аналогичные результаты для собственных значений
дифференциальных операторов в частных производных эллиптического типа.
Ледерман доказал следующую теорему: если элементы г строк и г
соответствующих столбцов эрмитовой матрицы изменить любым образом, но
так,
46
Глава И
чтобы матрица оставалась эрмитовой, то число собственных значений в любом
интервале не может возрасти или уменьшиться больше чем на 2г.
Из уравнения (2.1.8) следует, что если мы будем
искать решение иа в виде иа (*) = ) е~ш>
где не зависит от времени, то уравнения для
амплитуд будут иметь вид
"МхН 2 (М*Му'Г',гФав(1 ?)ч"(?). (2.2.10)
г.х'.е
Таким образом, мы видим, что частоты колебаний кристаллической решетки
можно также рассматривать как решения векового уравнения
1Мк (2.2.11)
Матричные элементы Daр ( * */) получаются из коэффициентов (МхМ^у'1*
Фар(* если сгруппировать
индексы (а, и, /) и (р, и', У). Матрицу D часто называют динамической
матрицей кристалла. Эта матрица эрмитова, так как она вещественна и
симметрична.
В случае бесконечного кристалла или кристалла, для которого выполняются
циклические граничные условия,
п ( I I' \
матричные элементы Dap [к к>) зависят от индексов
ячеек / и V только через разность е - е'. Если же взять реальный конечный
кристалл, который содержит то же число элементарных ячеек, что и
циклическая решетка, но на смещение атомов которого наложены свободные
или естественные граничные условия, т. е. условия, что на атомы
поверхностных слоев никакие силы извне не действуют, то указанное выше
свойство элементов Dap не имеет места. Однако пока оба атома с индексами
и j расположены так, что находятся от
внешней поверхности кристалла на расстоянии большем, чем радиус
межатомных сил (который предпола-
Основы теории динамики решетки
47
гается конечным), то величины *') по-прежне-
му зависят от I и /' только через разность I - Рассматривая атомы,
лежащие в поверхностном слое толщиной порядка радиуса действия межатомных
сил, мы
видим, что матричные элементы соответ-
ствующие взаимодействию с атомами вне кристалла, равны нулю. Поэтому у
двух кристаллических решеток, на одну из которых наложены циклические, а
на другую естественные граничные условия, динамические г" I 1 1' \ *
матрицы иар I х х, 1 будут отличаться матричными элементами тех строк и
столбцов, которые соответствуют атомам, лежащим в этом поверхностном
слое. Поскольку радиус действия межатомных сил не зависит от числа атомов
в кристалле, то число отличных друг от друга строк и столбцов в этих
матрицах будет порядка L2, в то время как полное число строк и столбцов
всей динамической матрицы будет равно 3г&. Согласно теореме Ледермана,
при переходе от циклических к естественным граничным условиям
относительное изменение числа частот внутри любого интервала будет
порядка L~l, что пренебрежимо мало в пределе больших L.
В качестве примера применения теоремы Ледермана обсудим сначала
одномерную решетку, в которой взаимодействуют лишь ближайшие соседи, и
рассмотрим два вида граничных условий:
A: un+N = un, В: й1 = илг = 0.
Условия вида А - это граничные условия Борна - Кармана. Граничные условия
вида В соответствуют закрепленным концам решетки. Легко видеть, что
соответствующие динамические матрицы отличаются лишь элементами двух
