Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
состоит в том, что вели-
ния с индексом равна <Oj(k), а эта величина, как
вещественные нормальные координаты. По-
чины
представляются в виде
Основы теории динамики решетки
55
где qx (у) уже вещественны. Вследствие условий (2.3.2) должно выполняться
равенство
"г/ьтткьц;)]- <2-зл4б>
Это означает, что qi (у) = ( у) и^2(у) = - "'г( у)'
так что независимые нормальные координаты составляют только половину всех
вещественных нормальных
координат {?х(5)}' и поэтому число независимых Нормальных координат равно
числу степеней свободы. Эти независимые нормальные координаты могут быть
получены следующим образом. Проведем через начало координат в зоне
Бриллюэна произвольную плоскость: векторы к и -к будут расположены по
разные стороны от этой плоскости. Будем рассматривать векторы к, лежащие
только по одну сторону плоскости, и для определения новых вещественных
нормальных координат используем соотношение (2.3.14а). Функцию Гамильтона
(2.3.9) можно выразить через координаты {<7Х}, представив ее
предварительно в виде
Н=1 S {<г(_/) <5 (;) -ь ^ w <г (_/) q (5) н-
к>0
+4(;И_/)+^т(;)<г(7)}-
откуда следует, что
я=? 2 Е Е (*)}• <2-зл5)
k>0 J 1,2
причем ограничение к>0 здесь означает, что суммирование ведется лишь по
векторам к, которые расположены по одну сторону от плоскости, проведенной
через начало координат первой зоны Бриллюэна.
Если с помощью величин записать разложение (2.3.1) для то легко можно
видеть, что
56
Глава I!
^(у) и Й2(у) представляют собой амплитуды стоячих
волн, смещенных друг относительно друга на четверть длины волны [3].
Если мы хотим перейти к вещественным нормальным координатам,
соответствующим бегущим волнам, то следует действовать окольным путем.
Преобразование (2.3.14) является единственным преобразованием,
позволяющим выразить координаты Q(y) через вещественные нормальные
координаты {<7}. Поэтому следующий шаг, очевидно, состоит в том, чтобы
величины
Q(y) выразить через ?(у) и ?(у)*
Однако соотношение вида
q(5H(5M5)+*(5M5) (2-3-16>
(где а и b - комплексные постоянные) использовать нельзя, так как условия
(2.3.2) будут иметь своим следствием определенные соотношения между ?(у)
и
?(""ук) и между ?(у) и и в нашем распоря-
жении останется слишком мало независимых нормальных координат. Этой
трудности не возникает, если величину Q(y) выражать через ?(у)> Я (у) и
у)"
?(-;). 1.с.
+ i"($)(? (5)-?("5)]' (2.3.17а)
где а(у) и ^(у)- вещественные коэффициенты, не
изменяющиеся при замене к на -к. Они определяются из требования, чтобы
преобразование было каноническим, если переменные ? (у) и ? (у) являются
канонически сопряженными. Величины Q(y)> имеющие вид
Основы теории динамики решетки
57
(2.3.17а), удовлетворяют условиям (2.3.2) независимо от значений,
принимаемых величинами и ^(у)*
Было показано1), что
"(?)= 2 • *(?)=-5тжг- <2-3-17">
Преобразованная функция Гамильтона принимает тогда вид
+ (2.3.18)
к
J
и мы видим, что величины ?(у) И ?(у) являются кононически сопряженными
переменными. Можно показать [3], что координаты ^(у) описывают волну,
распространяющуюся в направлении к.
До сих пор наши рассуждения были классическими. Однако теперь с помощью
формул (2.3.15) и (2.3.18) легко перейти к квантовомеханическому
рассмотрению.
Начнем с того, что для величин Q*(y) и ^(5) = ф(у)'
которые, согласно (2.3.10), являются канонически сопряженными
переменными, найдем их коммутатор, который нам понадобится в дальнейшем.
Написав
') Наиболее простой вывод формулы (2.3.176) состоит в следующем:
выражение (2.3.17а) подставляется в (2.3.11) в предположении, что Я ( у )
= - Юу (к) ? ( у ); величины Ь ^ ^ j выражаются через величины а (у ) •
так чтобы члены ^(у)^( у**)
н ?(у)?( /) исчезали, величины а(у) определяются из
условия, что гамильтониан имеет вид (2.3.18), и затем апостериори
проверяется, что преобразование (2,3.17) каноническое.
58
Глава II
преобразования, обратные (2.3.1),
I, к, а
где Ра(х) ~^х^а[1,) и записав выражение для коммутатора
[*"(?)• /Ъ (?')] = *""'*"'*,э. (2.3.20)
мы находим, что
[Q* (5). A>(5')] = tfA(k-k')6". (2.3.21а)
и
[Q (5) • /** $)] = "* (к-к')буг. (2.3.216)
Все коммутаторы, содержащие другие комбинации величин Q и Р, равны нулю.
Переходя к операторам по обычному правилу
¦GMJ)-*^5У <2-3-22>
мы получаем уравнение Шредингера для колеблющегося кристалла
(2.3.19)
-2я*к-х ({)
Так как переменные в гамильтониане разделяются, то волновая функция Ч*1
может быть представлена в виде простого произведения "одночастичных"
волновых
Основы теории динамики решетки
59
функций
(2.3.24)
к
)
где rtj(k) есть колебательное квантовое число осциллятора с индексом (yj.
Каждая из функций фЯу(ц удовлетворяет уравнению
I~Тdq^k\ + Т "? М * * (у) S " = Enj (k)S <k)'
(2.3.25)
Полная энергия кристалла ?{"j в состоянии, описываемом набором 3rN
квантовых чисел {"j (к)}, выражается формулой
Е{п) = 2 Enj (к). (2.3.26)
1
Решения уравнения (2.3.25) хорошо известны [28]:
Фл (Я)= ехР (- 7а^2) Нп И)' (2-3.27)
