Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
нуль. Из предыдущего рассмотрения не получается явного выражения для
давления р=-7з* (0хх+0уу+агг)" так как последнее не может быть выражено
через производные от полной потенциальной энергии кристалла Ф. Это
означает, что второе условие равновесия кристалла, а именно условие, что
в равновесной конфигурации отсутствуют напряжения, не может быть включено
в рассматриваемую здесь общую теорию. Однако мы сможем удовлетворить
этому условию, если зададимся явным видом межатомного потенциала.
При применении общей теории к изучению динамических свойств конкретных
твердых тел предполагается, что экспериментально измеренные параметры
решетки, модули упругости и дисперсионные кривые, которые используются
при определении атомных силовых постоянных | Ф0р ( * ч' j I ' относятся к
кристаллу, в исходном
состоянии которого отсутствуют напряжения, так что обычно указанный
пробел в общей теории практически несуществен.
Лейбфрид и Людвиг [356] отметили, что условия Куня (2.1.61) не
накладывают дополнительных ограничений на атомные силовые постоянные
кубических кристаллов. Эти авторы также показали [359], что условия Куня
вытекают из условия (2.1.16), которое определяется поведением сил,
действующих на каждый атом при переносе кристалла как целого. Каплан
[360] недавно показал, что если потенциальную энергию кристалла
представить как функцию квадратов мгновенных расстояний между всеми
парами атомов данного кристалла (это является предположением, достаточно
общим для описания взаимодействия в системе многих тел), то становится
возможным ввести в общую теорию решетки условие исчезающего давления.
В том случае, когда каждый атом является центром инверсии, из формул
(2.1.16) (в которой опущена сумма
40
Глава II
по х) и (2.1.556) видно, что круглые скобки обращаются в нуль. Круглые
скобки представляют вклад в модули упругости, который соответствует
относительному сдвигу в элементарной ячейке под действием
сил [<?Ф/дев Ц j, обсуждавшихся в связи с (2.1.15).
В том случае, когда каждый атом является центром инверсии, эти силы, а
следовательно, и круглые скобки обращаются в нуль. Далее, если атомы
взаимодействуют только с помощью парных центральных сил, то квадратные
скобки становятся полностью симметричными по всем четырем индексам, и
выражения для модулей упругости приводятся к виду
<W = laPl YM- (2.1.62)
Делоне [4] нашел явный вид соотношений между атомными силовыми
постоянными и модулями упругости для моделей простых кубических решеток.
§ 2. Циклические граничные условия и теорема Ледермана
Мы еще не сформулировали полностью задачу на собственные значения,
соответствующую уравнению
(2.1.26), так как мы еще ничего не сказали о возможных значениях
волнового вектора к, введенного формулой (2.1.21). Очевидно, что эти
значения определяются граничными условиями, накладываемыми на компоненты
векторов смещений u ( ? ) •
Если бы результаты расчетов, о которых будет идти речь в дальнейшем,
существенно зависели от конкретного выбора граничных условий, то едва ли
было бы возможно построить сколько-нибудь общую теорию. К счастью, это не
так, и для построения теории, применимость которой будет ограничиваться
только сделанными физическими допущениями, могут быть использованы самые
простые граничные условия, впервые предложенные Борном и Карманом.
Эти граничные условия были первоначально сформулированы следующим
образом: в конечном кристалле
Основы теории динамики решетки
41
атомы, расположенные в соответствующих точках противоположных граней
кристалла, движутся одинаково. В такой формулировке эти условия
называются обычно периодическими граничными условиями [2,18]. Можно
считать, что так сформулированные граничные условия соответствуют я-
мерной решетке, свернутой в я-мерный тор; легче всего это представить
себе на примере одномерной решетки, замкнутой в виде кольца, и двумерной
решетки, свернутой в виде бублика, т. е. свернутой сначала в цилиндр, а
затем в двумерный тор.
Граничные условия Борна - Кармана могут быть сформулированы иначе, причем
в этой новой формулировке их называют циклическими граничными условиями
[З]1). Рассмотрим бесконечно протяженный кристалл, разделенный на
"макрокристаллы", каждый из которых содержит LxLxL = N элементарных
ячеек. Такие макрокристаллы представляют собой параллелепипеды, ребра
которых определяются векторами Lai. La2, La3 и которые заполняют все
пространство. Любой из этих макрокристаллов можно рассматривать как
физический кристалл, колебательные свойства которого мы исследуем.
Циклические граничные условия представляют собой требование периодичности
смещений атомов с периодом макрокристалла, т. е.
"(,+/)=#Ц)- <2-2Л>
Введение циклических граничных условий является чисто математическим
приемом: наложение этих условий, как будет показано ниже, не влияет на
результаты вычислений каких-либо объемных характеристик кристалла. В то
же время эти условия упрощают в теории колебаний кристаллической решетки
