Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
и ушире-ние рентгеновских линий [8]. Можно ожидать, что тепловые
колебания решетки приводят к уширению примесных уровней и к размытию
краев зон для электронов в полупроводниках.
Теория локального движения атомов в решетке несколько сложнее теории
термодинамических свойств кристалла. Это объясняется тем, что последняя
оперирует только со средними характеристиками движения, вто время как
первая рассматривает колебания отдельных атомов или отдельные нормальные
колебания. Поэтому при составлении обзора этой теории нельзя предъявлять
слишком строгие требования к получению количественных результатов. Мы
попытаемся объяснить основные физические идеи, главным образом анализируя
некоторые частные модели кристаллов; для них мы сможем легко провести
расчеты, в общем случае не выполнимые. При этом, разумеется, следует
отчетливо представлять себе возможность качественного обобщения наших
результатов на реальные кристаллы.
Введение
17
Как и при рассмотрении термодинамических свойств кристалла как целого, мы
увидим, что основную роль в нашем исследовании будут играть спектр
собственных частот кристалла и дисперсионные соотношения между частотами
и волновыми векторами. Предполагается, что читатель в какой-то мере уже
знаком с обсуждаемыми вопросами, например, по обзорам Делоне и Блекмана.
Хотя мы будем стараться избегать повторения материала, рассмотренного в
этих работах, мы начнем в целях законченности изложения с краткого обзора
общей теории динамики решетки (гл. II), которая будет использоваться в
последующих рассмотрениях. Затем перейдем к теории спектров собственных
частот (гл. III) и к методам определения термодинамических свойств
кристаллов, не требующим явного знания спектра частот (гл. IV). В гл. V
исследуется влияние примесей и дефектов кристалла на его колебательные
свойства. В гл. VI мы рассматриваем следствия, к которым приводит
наложение различных граничных условий на амплитуды колебаний атомов в
кристалле. Наконец, гл. VII содержит теорию рассеяния колебаниями решетки
рентгеновских лучей и холодных нейтронов. При этом основное внимание
уделяется получению информации об атомных силовых постоянных и о спектрах
собственных частот, а также возможности определения дифференциального
сечения рассеяния через временную корреляционную функцию координаты.
Во всем последующем изложении мы неявно предполагаем возможность
разделения электронного и ядер-ного движения (адиабатическая гипотеза
[9]). Строго говоря, это предположение оправдано только для
неметаллических кристаллов, находящихся в основном состоянии. Однако если
учесть успех применения обычной теории динамики решетки к металлам, для
которых эта гипотеза заведомо не выполняется [10], то можно с полным
основанием надеяться на возможность применения наших результатов также и
к металлам. Рассмотрение влияния на динамику решетки взаимодействия
электронов с фононами выходит за рамки настоящей работы.
2 Зак. 1491
ГЛАВА II ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИНАМИКИ РЕШЕТКИ
§ 1. Уравнения движения колеблющейся решетки
Обсуждение динамики решетки наиболее удобно начать с предположения о
бесконечно большом кристалле, так как полная периодичность идеальной
решетки, являющаяся следствием отсутствия границ, сильно упрощает
построение теории. При таком предположении, однако, величины, относящиеся
ко всему кристаллу, оказываются бесконечно большими. Как будет показано в
следующем параграфе, все такие величины можно нормировать на конечный
объем надлежащим выбором граничных условий.
Таким образом, мы приходим к рассмотрению кристалла, составленного из
бесконечно большого числа элементарных ячеек, каждая из которых
представляет собой параллелепипед, построенный на трех некомпланарных
векторах аь а2, а3. Каждая элементарная ячейка содержит г атомов.
Равновесное положение /-й элементарной ячейки будем характеризовать
радиусом-вектором *(/), поместив начало координат в один из узлов решетки
X (/) = 1\&\ ^2^2 -I- ^3^3" (2.1.1)
где /j, к, h - целые числа, положительные, отрицательные или нули,
совокупность которых мы будем обозначать через /. Векторы ai, а2, а3
называются векторами элементарных трансляций решетки. Положения атомов
внутри элементарной ячейки определяются векторами х(х), отсчитываемыми от
начала координат, связанного с ячейкой, где к нумерует различные атомы в
элементарной ячейке и принимает значения 0, 1, ... , г-1. Для удобства
выберем начало координат в ячейке так, чтобы х(к=0)=0. Таким образом,
положение к-го атома /-Й
Основы теории динамики решетки
19
элементарной ячейки определяется вектором
х(*) = х(/)+х(х). (2.1.2)
В результате тепловых флуктуаций каждый атом смещается из положения
равновесия на величину иЩ.
Полная кинетическая энергия решетки при этом равна
Г-4 ? ЛАЦ). <2.1.3)
I, X, О
где Мн-масса атома сорта и, а иа - а-составляю-
щая вектора и Щ в декартовой системе координат, а = =х, у, 2.
Предположим, что полная потенциальная энергия Ф кристалла есть некоторая
