Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
функция мгновенных положений всех атомов. Разлагая величину Ф в ряд
Тейлора по
степеням смещений атомов u (*) • получим
ф-<м-2 ф"Ц)и"(^)+
+ т S ФаЭ(!с I') а°(х)аэ(х')+ ••• • (2Л'4>
lt к" с
к'. э
причем, оставаясь в рамках гармонического приближения, пренебрежем в этом
выражении всеми степенями выше второй. Здесь Ф0 является статической
энергией решетки - потенциальной энергией кристалла в положении
равновесия. Очевидно,
M;a-^TRT7l
где индекс 0 означает, что производная вычислена для равновесной
конфигурации. Коэффициент ФаЦ), как
2*
20
Глава II
это следует из его определения (2.1.5а), имеет смысл взятой с обратным
знаком силы, которая в равновесной конфигурации действует в направлении
оси а на атом,
находящийся в точке хЩ. Однако в положении равновесия силы, действующие
на любую частицу, должны быть равны нулю, и мы получаем, что в
равновесной конфигурации
ФаЦ) = 0. (2.1.6)
Поскольку мы ограничиваемся в нашей книге рамками гармонического
приближения, то следует предположить, что атомы кристалла колеблются
относительно своих положений равновесия, соответствующих таким положениям
атомов, при которых потенциальная энергия минимальна. Это объясняется
тем, что, пренебрегая ангармоническими членами в выражении для
потенциальной энергии, мы не рассматриваем механизм, способствующий
выходу атомов кристалла из этих положений [356]. В случае конфигурации,
соответствующей минимуму, потенциальной энергии, результирующая сила,
действующая на каждый атом, обращается в нуль, так что выражение (2.1.6)
всегда справедливо в гармоническом приближении. Однако при изучении ряда
свойств силовых постоянных | Фаз х,j | удобно считать, что коэффициенты
|ф"(х)} не Равны нулю, и приравнивать эти коэффициенты нулю ^ишь в конце
расчета. Так мы и будем поступать.
Таким образом, функция Гамильтона кристалла в гармоническом приближении
может быть записана в виде
Основы теории динамики решетки
21
откуда сразу же получаются уравнения движения решетки
мМ1)=-^щ=
- s mi гыа- <'•>•">
Г.к'.Р
Коэффициент Фор (х х,) представляет собой силу, действующую в направлении
оси а на атом, расположенный в точке хЦ), в том случае, когда атом,
находившийся в точке х (х,), смещен вдоль оси р на отрезок единичной
длины. Из определения (2.1.56) видно, что коэффициент Фаз (х х,)
удовлетворяет условию симметрии
М* *:)=М"' 3- <2Л-9>
Периодичность решетки означает, что если решетку как целое сместить на
вектор решетки х(/), то смещенная решетка совпадет с исходной. Отсюда
следует, что прибавление тройки целых чисел (A, k, U) к индексу I
у коэффициента ФаЩ и к обоим индексам / и /' у коэффициента Фаз (х x,j не
меняет величины этих коэффициентов. Поэтому коэффициенты (r)"(х) не зави"
сят от /, а коэффициенты Фаз (х х,) зависят только от
разности / - Г, но не от I и /' в отдельности. Это можно записать в виде
М" ?)"**(?"?)• <2-ио>
Существует целый ряд полезных соотношений между
(I 1'\
х Л, которые следуют
22
Глава II
из поведения потенциальной энергии и сил, действующих на атом при
переносе и вращении твердого тела как целого.
нымл некоторому произвольному постоянному вектору v, который не зависит
ни от /, ни от х. Это соответствует переносу кристалла как целого на
расстояние v, а при таком переносе потенциальная энергия не может
измениться. Формально разложение (2.1.4) принимает вид
Кажущееся изменение Ф, описываемое двумя последними членами в правой
части этого равенства, должно быть равно нулю. Так как v есть
произвольный вектор, то мы должны приравнять нулю коэффициенты при каждой
степени va отдельно. Таким образом, получаем соотношения
Учитывая (2.1.10), можно записать первое из этих условий в виде
откуда следует, что даже если начальная конфигурация неравновесна и
результирующая сила, действующая на каждый атом, не равна нулю, то во
всяком случае результирующая сила, действующая на всю элементарную
ячейку, должна быть равна нулю.
Более существенным является условие, налагаемое
Положим сначала все векторы смещения и(?) рав-
I, X
(2.1.12а)
X
на величины
{ (1 I) } вследствие определенного по-
Основы теории динамики решетки
23
ведения сил . действующих на каждый атом при
переносе кристалла как целого. Мы имеем
+ 2 М" <2ЛЛЗ>
в
Заменив каждую из величин ИаЦ) на va, мы просто перенесем решетку как
целое на расстояние v, а такой перенос не может изменить величину силы,
действующей на атом в исходной конфигурации. Отсюда мы получаем условие
241 Д=°=2Ч" *-)• <2ЛЛ26>
Г, х' V, х'
На силовые постоянные налагаются дополнительные условия, которые вытекают
из свойств симметрии функции потенциальной энергии и ее производных при
бесконечно малом повороте кристалла как целого. Для этого рассмотрим
смещения, которые описываются формулой
<2лл4>
р
где параметры <"ар-элементы инфинитезимальной антисимметричной матрицы,
(c)аэ = -(r)ро- Подставляя
формулу (2.1.14) в разложение (2.1.4) и сохраняя только члены, линейные
относительно юоз> получаем
