Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
дискретных решеток.
Условием существования ненулевого решения системы уравнений (2.1.22)
является равенство нулю определителя, составленного из его коэффициентов:
Формула (2.1.24) представляет собой уравнение степени Зг относительно о2,
и для каждого значения вектора к оно имеет 3г решений, которые мы будем
обозначать через (c)5(к), где /'= 1, 2, ..., Зг. Из определения
(2.1.23) очевидно, что
и мы видим, что матрица с Зг строками и Зг столбцами, которую можно
построить из коэффициентов
циенты Фоэ */) зависели не только от разности / -
нд и от / и /' в отдельности, то величины
(2.1.24)
(2.1.25)
если рассматривать в качестве индексов
28
Глава И
пары значков (а,х) и (Р, х'), является эрмитовой. Отсюда следует, что
величины {"^(к)} вещественны, и, следовательно, величины (c)j(k) либо
вещественны, либо чисто мнимы. Чисто мнимая величина (c)3(к) соответствует
разрушению решетки в прошлом или в будущем. Поэтому микроскопическим
условием стабильности решетки является положительность всех (к). Для
этого необходимо, чтобы главный минор матрицы был
положителен [11]. Это требование вследствие соотношения
(2.1.23) накладывает дополнительные условия на силовые постоянные ФазЦ
" и повсюду в дальнейшем мы
будем предполагать, что эти дополнительные условия выполнены. Очевидно,
Зг функций (c)5 (к) аргумента к можно рассматривать как различные ветви
многозначной функции со2 (к).
Соотношение, описываемое равенством
(c) = (c)у(к), у = 1, 2, .... Зг,
известно как закон дисперсии (дисперсионная формула). Получить замкнутое
выражение для о,-(к) в общем случае невозможно, однако, как мы увидим в
дальнейшем, такое замкнутое выражение удается найти в некоторых частных
случаях простых моделей кристалла.
Для каждого из Зг значений функции (c)5(к), с00т* ветствующих некоторому
фиксированному значению вектора к, существует вектор е (х. | ^),
компоненты которого удовлетворяют системе уравнений (2.1.22), причем эту
систему уравнений мы теперь можем записать в виде
HMxS'bH?)- <2Л-2б>
х'.В
Система (2.1.26) определяет вектор е(х|у) с Т04* ностью до постоянного
множителя, а его мы можем выбрать так, чтобы векторы е(х| у)
удовлетворяли уело-
Основы теории динамики решетки
29
виям ортонормированности
2<(х I 5Ых I ?)==б"'' (2Л-27а)
*,в
2 е1 И 5 )Н ) ) ='6°Р Ь(tm)' ¦ (2Л -276)
Далее, из определения (2.1.23) следует
= <2|-28> Написав систему уравнений, комплексно сопряженных по отношению
к уравнениям (2.1.26), и учитывая, что величины <"^(к) всегда
вещественны, на основании соотношения (2.1.28) мы видим, что без
ограничения общности можно допустить либо
*"Ы5)=<Н~/)' (2Л-29а)
либо
*а(х|5) = -<(х|~к). (2.1.296)
Последнее предположение удобно в целом ряде приложений, так как в случае
вещественных векторов
е (х | 5) ЭТ0 С00тн0шение означает, что компоненты
е"(х15) пР€0(r)РазУются так же> как и компоненты ка.
Однако ни один физический результат не изменится, если мы предпочтем одно
из этих условий другому. Следуя Борну и Куню, мы выбираем первое из этих
условий, а именно (2.1.29а).
В любом случае можно положить
(к) = (- к). (2.1.30)
Фактически это соотношение является следствием симметрии относительно
обращения времени [12]. Собственные векторы е (х | ^ j могут быть
комплексными только для решеток, содержащих более чем один атом в
30
Глава II
элементарной ячейке. Они вещественны для решеток Браве [9].
Введенная в этом параграфе матрица на-
зывается динамической матрицей кристалла. Собственные числа {(c)y(k)j этой
матрицы можно отождествить с квадратами частот нормальных колебаний
кристалла, рассматриваемыми в гл. 2, § 3. Для каждого значения вектора к
уравнение (2.1.26) имеет 3г решений, три из которых стремятся к нулю при
к->0. Это можно показать следующим образом. Полагая к=0 в равенствах
(2.1.26) и (2.1.23), получаем
V Ф"р(и!с') ^(Иу) #вН5)
Если для всех р величины М~!,г (и' | у) не зависят от
х', то из условия (2.1.126) следует, что левая часть равенства (2.1.31)
обращается в нуль, а значит, и (c)2(0) = 0. Приведенное рассуждение
несправедливо
лишь в том случае, когда все три компоненты {е"(х|у)} Равны НУЛЮ для
любого х; однако тривиальное решение в (х | у) = 0 мы не рассматриваем.
Таким образом, мы имеем три решения, по одному для каждого значения а,
которые обращаются в нуль в точке к=0. Такие колебания называются
акустическими, поскольку из формулы (2.1.21) следует, что они
характеризуются соотношением •)
>) Величины м(и|у) описывают смещения из положения равновесия и-го атома
/-й элементарной ячейки в том случае, когда колебание происходит с
частотой <0j(k).
Основы теории динамики решетки
31
которое означает, что все г частиц в каждой элементарной ячейке движутся
в фазе и с одинаковой амплитудой, а это характерно для смещений упругой
среды при распространении в ней звука.
Остальные Зг - 3 колебания, частоты которых не обращаются в нуль при к=0,
называются оптическими. Происхождение этого иногда вводящего в
