Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
найдем уравнения теории возмущений:
2 С8Ц (их') 40) {у! | kj ) = 0, (2.1.46а)
+ SC^(XX')41)("/|5) = 0, (2.1.466)
х#" 0
\ 2 C$.v*(xxW*40)(*'|5)-
х', р, v,
х'.Р, v Х',Р
= ["/;) (k)]*w"">(x|J). (2.1.46в)
Будем решать эти уравнения последовательно.
Учитывая (2.1.126) и (2.1.45а), можно видеть, что уравнение (2.1.46а)
имеет нетривиальное решение
W(0> Н5) = УЖ и (Л (2.1.47)
где и(/) -произвольный вектор. Существуют три независимых решения такого
вида, которые определяются любыми тремя взаимно перпендикулярными
векторами и(/). Они соответствуют трем ветвям акустических колебаний,
которые мы отмечает индексом /=1, 2, 3. За исключением требования
взаимной ортогональности, векторы и(/) пока произвольны; они будут
определены из уравнений, соответствующих приближениям высших по* рядков.
Подставляя (2.1.47) в (2.1.466), получаем уравнение для •о>(в1) (и|у):
2с$(ххо41)Н5)=- S
х', р х', р, V
(2.1.48)
3*
36
Глава II
Необходимым и достаточным условием разрешимости этой системы неоднородных
уравнений является ортогональность правых частей уравнений ко всем
решениям системы соответствующих однородных уравнений. Эта система
однородных уравнений совпадает с системой уравнений нулевого порядка
(2.1.46а), и, следовательно, ее решение определяется формулой (2.1.47).
Таким образом, условие разрешимости принимает вид
2{2 [ЪУЖЩС$.v(хх')]Мз(У)|иа(/) = 0. (2.1.49)
Так как вектор и(/') произволен, то выражение в фигурных скобках должно
обращаться в нуль для каждого значения а отдельно. Из формул (2.1.16) и
(2.1.456) следует, что сумма по х и х' в уравнении (2.1.49) равна нулю,
так что условия разрешимости уравнения (2.1.48) выполнены. Однако не все
решения являются независимыми, так как если умножить обе части
рассматриваемого уравнения на УМк и просуммировать по и, то правая и
левая части получившегося соотношения будут тождественно равны нулю.
Отсюда следует, что из общего числа г решений для данного а только г - 1
решений являются независимыми; Борн и Кунь без ограничения общности
полагают, что
(° 15) " " ~Х' У' г' (2.1.50)
Остающиеся Зг - 3 уравнения для амплитуд первого порядка "^(xl у) (х=1,
2, ..., г-1) можно формально решить, используя матрицу Г<3г-3), обратную
матрице С^(хх') (х, х' = 1, 2, ..., г- 1) порядка Зг- 3. Удобно, однако,
ввести в рассмотрение матрицу Г порядка Зг, определив ее элементы
формулами
Гар(хх') = Г$-3)(хх/) при х, у/фО (2л 51)
Гаэ(хх') = 0 во всех других случаях
Основы теории динамики решетки
37
Тогда решения уравнения (2.1.48) могут быть записаны в виде
= - 2 Гац (хх') 2 V Сцр, v (х/> (У)" (2.1.52)
X'. (I х*. Р, v
где теперь индексы х, х', х" пробегают все г значений О, 1, 2, г-1.
Если подставить решения (2.1.52) и (2.1.47) в уравнение (2.1.4бв), то
уравнение для амплитуд второго порядка примет вид
yb(K*')wf (x'|$) = KW VM~*ua(j)~
---2 2 м". V Ир (У) -
х'.р,?,*
- 2 v(**') *,2Г"(xV')x
x', p, V X*. (I
X 2 Р!гС{й1х(/,х*)*)Л(Д (2-1.53)
x''',v,A.
Условие разрешимости этой системы неоднородных уравнений получается так
же, как и в предыдущем случае, и оно может быть записано в виде
2*х
---К" (к )]2МУ)=
= 4я2 212 <И. V*] + И. (&)) Мх ) ер (Л (2.1.54) Р I v. *• J
где иа - объем элементарной ячейки кристалла, а
И* YM"*35* 2 С& V. (XX'), (2.1.55а)
X, х'
(aY> Р^-) = - 4n3va 2 2 ^ (хх ^ ( 2 УЖ7 Cjw. v (**"') |Х х, х' ц, v I х'
J
X j 2 V^V7 a(xV") j. (2.1.556)
38
Глава II
Из определений СЦ7(хх/), СЦ7?1(ху/), соотношения инвариантности (2.1.16)
и того факта, что Г является симметричной матрицей, вытекают следующие
соотношения симметрии:
[ар, yM = И, Я-Y] = [Ра, YM" (2.1.56a)
(ар, v^) = (аР, А/у) = (ра, = ар). (2.1.566)
Уравнения движения для общего случая анизотропной упругой среды, в
которой первоначально отсутствуют напряжения, имеют вид [16]
риа= 2л с^дх дх • (2.1.57)
P.Y.* у *
где р - плотность, иа - a-компонента вектора смещения и {CavW,}-
макроскопические модули упругости. Последние могут быть записаны в более
привычном виде с двумя индексами, если объединить первую и вторую пары
индексов согласно схеме
11 22 33 23,32 31,13 12,21 I I I I I I (2.1.58)
1 2 3 4 5 6
Предполагая, что решения имеют вид
u = и(0) ехр (- Ш -|- 2л/к • х),
мы получим уравнения Грина - Кристофеля, определяющие частоты колебаний:
(2.1.59)
Сравнение уравнений (2.1.54) и (2.1.59) приводит к соотношениям между
модулями упругости и скобками, определенными формулами (2.1.55). Эти
соотношения были разрешены Кунем [17], который нашел следующие выражения
для модулей упругости:
= yM + IPV. <Л] -[Р*-, "yI + И, №) (2.1.60)
при условии, что квадратные скобки обладают дополнительной симметрией
(ар, yA,J = (yA,, ар]. (2.1.61)
Основы теории динамики решетки
39
Он показал, далее, что 15 условий (2.1.61) имеют следующий смысл: если
эти условия выполнены, то энергия деформации кристалла инвариантна
относительно вращения кристалла как целого, а пять анизотропных
напряжении Охх СТуу, Оуу Ozzt @хуу Gyzi ^zx ОбрЗЩЭЮТСЯ В
