Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
работах Коппе [45], Хейвлока [46] и Шредингера [47]. Эти три автора
решили задачу при помощи функций Бесселя, причем первые два из них
интересовались распространением волн в среде с дисперсией, а Шредингер
рассматривал переход от механики системы дискретных точек к механике
сплошной среды. Вывод Шредингера представляет особый интерес; он
воспроизводился несколько раз в различных вариантах. Поэтому ниже мы
изложим основные идеи этого вывода. Если в уравнениях (2.4.1) сделать
подстановку
то эта система примет вид
(2.4.9)
где п может быть как четным, так и нечетным. Реше* нием же этой системы
уравнений является любая функция вида
г>п = А/"_г(<^), (2.4.10)
где г - произвольное целое число, величина а>ь определяется так же, как в
формуле (2.4.5), a 7a(jc) - функция Бесселя порядка k. Если рассматривать
бесконечную цепочку, в которой в начальный момент времени
70
Глава II
частица с номером п имеет смещение ип=ап и скорость йп = б", то начальные
условия для системы (2.4.9) примут вид
а все остальные v равны нулю. Следовательно, решение системы (2.4.9) с
такими начальными условиями будет иметь вид
Решение для более общего случая начальных условий можно получить
суперпозицией таких решений, причем результат будет равносилен формуле
(2.4.6а).
Интересно отметить, что Шредингер писал свою обзорную статью по
теплоемкости газов и твердых тел для "Handbuch der Physik" примерно в то
время, когда он создавал волновую механику (обзор был напечатан в 1926
г.). Легко представить, какое раздражение вызывала у него необходимость
писать обзор, так как срок представления рукописи истекал примерно тогда,
когда идеи создания квантовой механики волновали его особенно сильно.
Большое число работ по распространению волн в периодических решетках было
выполнено в теории электрических цепей. Уже в 1906 г. Кемпбелл [48]
сконструировал полосовые фильтры, и в начале двадцатых годов он и другие
авторы [49] обсуждали свойства таких цепей. Папен [50] в своей работе о
телеграфных кабелях использовал решение Лагранжа для задачи о колебаниях
линейной решетки. Другие ссылки на работы, выполненные электротехниками,
можно найти в книге Бриллюэна [33], а исторические обзоры работ по
динамике решетки, появившихся после 1920 г., можно найтивкни-
(2.4.11)
Vr = b"Jr_2n (aLt) + [J,-2n-l КО + Л-2Л+1 Ml-
(2.4.12)
ГЛАВА lit
ТЕОРИЯ СПЕКТРОВ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ЧАСТОТ В ТВЕРДОМ ТЕЛЕ
§ 1. Введение
Поскольку число атомов в кристалле очень велико и собственные частоты
плотно заполняют некоторый ограниченный интервал, удобнее рассматривать
не отдельные частоты, а функцию распределения частот, или спектр частот.
Определим величину G(a2)da2 как предел относительного числа квадратов
частот, лежащих в интервале (ю2, (c)2+dw2) при Ло2-> 0. Аналогично
определим g((o)^G> как относительное число собственных частот в интервале
(ю, ю + da). Эти две функции связаны между собой соотношением
g((o) = 2coO((o2). (3.1.1)
Для нормировки спектра собственных частот потребуем, чтобы функция
распределения частот /-й ветви была нормирована на 'Дзг)
(r)lU)
/ g]{<*)d(r) = gp (3.1.2)
о
где (c)ь (/) - наибольшая частота рассматриваемой вет* ви. Тогда
Зг
f g(o>)da> = 2} J gj(<a)d<n=l, (3.1.3)
о j=\ о
где (c)z, - максимальная частота в кристалле.
Спектр колебательных частот обычно используется для определения
термодинамических свойств кристалла.
В гармоническом приближении из уравнения (2.3.39)
для полной энергии стационарного состояния кристалла,
72
Глава III
характеризуемого набором квантовых чисел [л^(к)] = = лу,(к0' Лл(кг)" •••
?1лу(*>}=2(Мк)+т)йсМк)* (3-1-4)
к, У
следует известное выражение для статистической суммы
-I ЭЛяу (к) ехр(- Р^{"/к)}) = Ц-г-
{Ук)}
.М Vм/
?= 2 бХР( Р^(я/(к)))~ТТ~ -рАоу(к) ' (3-1-5)
где р=1/&7\ k - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура.
Свободная энергия Гельмгольца определяется формулой
F = -kT\nZ=kT^\n{2$b^gP-}, (3.1.6)
так что выражения для внутренней энергии, теплоемкости при постоянном
объеме и энтропии кристалла имеют вид
=¦ с r(dF\ VlHW , *V<M 1 С-Г 1 \дТ10 - 2и\ 2 _l"exp[/toy(k)/A7']-l) •
к.У
к. У
Таким образом, в гармоническом приближении термодинамические функции
являются аддитивными функциями частот нормальных колебаний. Вследствие
этого все они могут быть выражены как средние по спектру
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 73
частот:
aL
F*=3rNkT J In { 2 ((c))</(c),
? = 3rN-jf (r)cth-^rg((o)d<o,
•? (3.1.76)
Cv = ZrNk f csch2 g (a) da,
о ai
S = ZrNkf [^cth^-ln{2sh^}]g((o)rf(o.
0
Моменты Ц2n, определенные уравнением (2.2.19), выражаются через спектр
частот следующим образом:
ас
\hn = { ((r)) (3.1 -7в)
о
Отсюда ясно, почему величины р,2п называются моментами спектра частот.
Знание спектра частот существенно для определения термодинамических
функций кристалла. Поэтому было затрачено много усилий на определение
аналитического вида функции g(a) для различных моделей. Значительное
число работ было выполнено с дебаевским спектром, перенесенным из
