Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.
Скачать (прямая ссылка):
произведено Бриллюэном [33]. Новые результаты, полученные в физике
твердого тела за последнее время, стимулировали дальнейшие сложные
математические исследования этих общих свойств, особенно для не вполне
периодических решеток.
В случае одномерной моноатомной абсолютно упругой цепочки, в которой
взаимодействуют лишь ближайшие соседи, уравнения движения имеют вид
Mun = y(un+i - 2и"+ ""_!), (2.4.1)
1) Еще в 1904 г, лорд Кельвин [32] утверждал, что все световые явления,
которые не являются магнитными по своей природе, можно объяснить при
помощи теории упругости.
64
Глава II
где и" - смещение отдельной частицы из своего положения равновесия, М -
масса одной частицы, у - силовая постоянная взаимодействия между
ближайшими соседями. Для решения системы уравнений (2.4.1) можно
использовать различные граничные условия. Делая подстановку
ип = А exp i (я0 - со/), (2.4.2)
мы получаем дисперсионную формулу
Ма? = 2у (1 - cos 0), (2.4.3)
где допустимые значения 0 определяются граничными
условиями. Например, предполагая, что цепочка свернута в кольцо, мы
накладываем условие uN+i = ul, которое приводит к требованию exp (iNQ) =
1, т. е.
(c)= ~Ш~' k = \,2............N. (2.4.4)
Аналогичные соотношения могут быть получены и при
помощи других граничных условий.
Ньютон использовал эту модель для определения скорости звука в воздухе.
Он не производил предварительного анализа поведения системы и,
предположив изотермический, а не адиабатический характер процесса,
получил результаты, не совпадающие с экспериментальными данными. К тому
же результаты Ньютона применимы лишь в предельном случае континуума и
поэтому не относятся к специальным свойствам, которые являются
результатом дискретного характера модели. Бриллюэн упоминает работы Ивана
и Даниила Бернулли [34], которые в своей переписке обсуждали линейную
цепочку и первыми показали, что решение системы уравнений (2.4.1) может
быть представлено в виде суммы решений, соответствующих нормальным
колебаниям. Затем Лагранж [35] получил явное выражение для решения
системы (2.4.1) в виде суммы синусов. Однако, поскольку Лагранж
интересовался в основном колебаниями струны, он не обсуждал свойств,
присущих линейной цепочке с дискретными массами.
Первые исследования решетки, содержащие анализ характерных свойств этой
системы, появляются около
Основы теории динамики решетки
65
1840 г. после работы Коши по теории оптической дисперсии. В соответствии
с равенством (2.4.2) для того, чтобы смещения соответствовали бегущей
волне, распространяющейся в решетке, величина 0 должна быть вещественной.
Следовательно, в общем случае, для того чтобы волна распространялась в
кристалле без поглощения, ее частота должна быть ограничена, а именно
o2<4у/М. Если же на частицу действует вынуждающая сила с большей
частотой, то величина 0 должна быть комплексной, а это вследствие
соотношений (2.4.2) приводит к экспоненциальному убыванию амплитуд и".
Поэтому такое колебание не распространяется в кристалле, а оказывается
локализованным около частицы, к которой приложена вынуждающая сила.
Обсуждение этого вопроса в начальной стадии имеется в работе Бадена-
Пауэлла [36]; основные же результаты содержатся в записках Гамильтона
[37].
Работа Гамильтона представляет собой подробное математическое
исследование решения системы уравнений (2.4.1). Этим исследованиям
посвящена большая часть материала, имеющегося в записных книжках
Гамильтона, хотя опубликовал он сравнительно небольшую часть своих
результатов. Гамильтон пытался выяснить, каким образом в среде с
дисперсией распространяются колебания, в частности, как распространяется
свет в кристалле.
В большинстве работ Гамильтона рассматривается одномерная цепочка, в
которой взаимодействуют лишь ближайшие соседи и концы которой закреплены.
При этом Гамильтон интересовался, как будут двигаться частицы в такой
цепочке, если в начальном состоянии одна или несколько частиц не
находились в состоянии равновесия. Используя разнообразные методы, он
получил точный закон движения частиц в виде
N , t х
M*) = 7vqrrS |М0)+М0)/
X 2 sin тгпsin cos sin ' *2,4'5* *=i
5 Зак. 1491
66
Глава II
где cd? = 4y/.M. Переходя затем к пределу при N-*-оо и преобразуя сумму в
интеграл, Гамильтон получил полное решение в виде
я/2
Xj sin2y'0sin2/i0cos(a)Jr/sin8)rf8. (2.4.6) о
В современных обозначениях это решение может быть записано с помощью
функций Бесселя следующим образом:
и" (0 = 2 (") (0) + Щ (0) J rf/j [Ли-п)М - У2у+.)((r)101-
;=i \ о /
(2.4.6а)
Гамильтон не рассматривал термодинамических свойств системы, состоящей из
большого числа осцилляторов, а ограничивался чисто механическими ее
свойствами. Он не только получил решение в интегральной форме, но
установил также, какими асимптотическими свойствами обладают подобные
системы, вычисляя интеграл от осциллирующих функций при помощи метода,
который по существу является методом стационарной фазы и который он
иногда называл методом "флуктуирующих функций".
