Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Марадудин А. -> "Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении" -> 21

Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении - Марадудин А.

Марадудин А., Монтролл Э., Вейсс Дж. Динамическая теория кристаллической решетки в гармоническом приближении — М.: Мир, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamicheskayateoriyakrisreshetki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 114 >> Следующая

континуальной модели.
Мы дадим краткий вывод формулы Дебая для спектра частот упругого твердого
тела. Сам Дебай получил эту формулу для распределения нормальных
колебаний в теле сферической формы. Мы будем следовать работе Ортви [51],
который по предложению Зом-мерфельда исследовал распределение нормальных
колебаний в упругом параллелепипеде. Этот же результат можно получить и
при помощи метода Релея и Джинса [52, 53]. Как показал Вейль [24],
распределение частот
74
Глава III
нормальных колебаний не зависит от формы тела при условии, что размеры
тела достаточно велики. Возникающая при этом ошибка всегда имеет порядок
отно* шения числа атомов на поверхности тела к полному числу атомов в
кристалле и поэтому стремится к нулю при неограниченном возрастании
размеров тела. Математическая работа Вейля по исследованию решений
дифференциальных уравнений была вызвана замечанием Лоренца на заседании
Германского физического общества. Лоренц отметил, что поскольку
термодинамические свойства кристаллов не зависят от формы образца, должна
существовать какая-то математическая теорема о независимости
распределения собственных значений некоторых дифференциальных уравнений
от формы границ, условия на которых определяют собственные значения.
Мы дадим вывод для трехмерного случая; аналогичные выводы можно сделать
для одномерного и двумерного случаев. Рассмотрим изотропный упругий
параллелепипед с размерами LiXLzXL3. В дальнейшем мы предположим, что
наименьшая из величин (Lit Lz, Ls) стремится к бесконечности. Пусть U =
(и, v, w) - вектор смещения точки в кристалле. Уравнения движения для
кристалла имеют вид
р'Ж' = ^2и + ^ -hИ-) V(V • U), (3.1.8)
где р -плотность тела, а р, и к - коэффициенты Ламе. В качестве граничных
условий примем
м = 0> ~дх-~д7~^' * = 0, Lu
*=°. |г=1г=0' у=0'L* <3-Ь9>
п да dv п п г
w = 0, -gj-=-3j = 0, z = 0, Lz.
Эти граничные условия удобны для получения простого решения уравнения
(3.1.8). Они выражают тот факт, что напряжения сдвига на границе равны
нулю и отсутствуют смещения, перпендикулярные к поверхности тела. Для
решения уравнения (3.1.8) сделаем следующую
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 75
подстановку:
и = A sin 1 cos cos
L j L2 Lj
(r) = ? COS -^7^ sin ^7^- COS -^7^- e~ш, (3.1.10)
L\ L 2 L>z
w = Ccos-^cos -^sin-^*-,e",
где /ti, n2, пз - положительные целые числа, а допустимые значения о"
подлежат определению. Легко проверить, что выбранное таким способом
решение удовлетворяет граничным условиям (3.1.9).Подставляя (3.1.10) в
(3.1.8) и приравнивая нулю коэффициенты при ортах
i, j и к, получаем, что коэффициенты А, В и С должны удовлетворять
соотношению
/ "2 "2 "2 v
-^А=1'А(-ц+-щ+-ц) +
+<*+rt(*f+^+c-^)(3.un
и аналогичным соотношениям, получаемым циклической перестановкой
коэффициентов А, В, С и величины nJLi. Поскольку мы предполагаем, что
коэффициенты А, В, С отличны от нуля, то значения о2 могут быть найдены
из условия равенства нулю следующего определителя:
J0- ^(ej+e^+e2) -(х+юе.е, -(х+юе.е,
-(х+юе?
- (Я, + ц)0|0* ^ - ц(02+02 + (r)з) -$> + 1*)в"9а - (Я, + ц) (c)2
- (А, + ц)010$ - (Я, + ц)0203 - (*((r)i + (r)2+(r)D
- <^-bi*)0i
(3.1.12)
где 0j=ni/Lj. Легко проверить, что в разложении этого определителя
постоянный член и член, содержащий
Гб
Глава 111
первую степень pw /л-ц (0i -f 02 + 0з)> обращаются в нуль. В результате
вековое уравнение для определения частот нормальных колебаний принимает
вид
[¦^Цг - ц (61 + 02+ 0a)J - (2м--+-(0? +02+0з)] = 0.
(3.1.13)
Решения этого уравнения мы обозначим соответственно через щ и ю,:
& (е^е^+032).
1 Р 4 ' (3.1.14)
ш2 = -^-(01 + 02+0з) (дважды вырожденная частота).
Подстановка этих решений в уравнение (3.1.12) показывает, что первая
частота связана с распространением чисто продольных волн, в то время как
дважды вырожденное решение соответствует чисто поперечным волнам. Так как
скорости распространения продольных и поперечных волн в изотропном
упругом теле соответственно равны [55-58]
"<-1".-/?• (3US>
то равенства (3.1.14) могут быть записаны в виде л
о" 2/"1 ,
(0* - Ctn I 2 + 2 + , 2 ) '
' 1 2 3' /4 1 1
ft? r& t&\ (3.1.16)
= I ~y~\-g-+72] (дважды вырожденная частота).
\ Li l2 l3 }
Теперь, вычислив относительное число собственных частот, приходящихся на
интервал (о, o+cfo), мы можем найти функцию g(a). Для этого мы заметим,
что число поперечных нормальных колебаний с частотами, меньшими о, как
раз равно удвоенному числу положительных точек решетки (ni, пг, Пз),
удовлетворяющих
Теория спектров колебательных частот в твердом теле 77
условию
т. е. равно удвоенному числу узлов решетки, лежащих в одном октанте
эллипсоида
В первом приближении, в пределе больших значений Z-i, Lz, Li, это число
равно объему первого октанта эллипсоида с полуосями (oLiJnCt, (oLz/nCt,
(oLJnCt. Более точная оценка этого числа будет дана в гл. VI. Оно
оказывается равным
и, следовательно, число поперечных колебаний с частотами, меньшими ю,
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 114 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed