Статьи и речи - Максвелл Дж.К.
Скачать (прямая ссылка):
следовательно, остается некомпенсированной, создает дрейф.
Некомпенсированная кривизна вызывается только дифференциальными
вращениями, так как только в случаях движений твердого тела получается
кривизна, не сопровождаемая структурными изменениями. До тех пор, пока
трубки следуют движению жидкости, поведение среды является упругим в
классическом смысле; но когда трубки дрейфуют относительно жидкости,
уравнение (1) неполно, так как в нем нет учета дрейфа.
III. Уравнения Максвелла
Теперь мы можем сделать наш описательный анализ среды более определенным.
Обозначим прочность на вращение каждой трубки через к, где 2ях -
циркуляция вокруг трубки. Для указания направления циркуляции введем
вектор х и выберем это направление так, чтобы оно совпадало с пальцами
правой руки, охватывающей трубку, а большой палец был бы направлен по х.
Величина х предполагается одинаковой для всех трубок. Дрейф трубки
пропорционален ее кривизне; коэффициент пропорциональности (коэффициент
дрейфа) обозначим через а. Трубка в нейтральной среде занимает среднее
положение; боковое смещение от этого положения обозначим через |. Тогда
дрейф можно записать в виде d%/dt. Единица длины дрейфующей трубки
оказывает на жидкость тягу 2яхр|, причем эта величина является также
подъемной силой. Плотность трубки обозначим через L. В приложении I
показано, что для некоторых целей трубки можно разлагать как векторы;
этим упрощением мы теперь и воспользуемся.
Когда трубки разлагаются на их векторные компоненты, то плотность трубки
вдоль каждого направления есть 7г L, так как среднее значение
направляющегося косинуса для сферически симметричного распределения равно
'/г- На рис. 2 элемент среды, первоначально прямолинейный, изогнут
смещением D. Вращения элементов 1 и 2, определенные в этих местах,равны
V2 curl D, как показано стрелками.
Кривизна элемента вдоль прямой, перпендикулярной к оси вращения, есть
разность во вращениях элементов 1 и 2, деленная
1 L. М. Milne-Thomson. Theoretical Hydrodynamics. N. Y., 1951, 2nd ed.,
p. 230.
332
ha расстояние Между ними и, следовательно, она имеет величину '/a curl
curl I). Трубка, лежащая внутри куска, с таким вращением, как на рис. 2,
смещается в плоскость рисунка и вправо со скоростью |, превышающей
кривизну в а раз. Дрейфующая трубка единичной длины оказывает на жидкость
тягу 2якр| в направлении
Рис. 2. Элемент объема, искривленный при дифференциальном вращении
dg/diXM, так что эту тягу можно выразить как 2ярd^/dtXa на единицу длины.
Если разложить трубки вдоль curlZ>Z>,curl curl инор-мально к этим
направлениям, то только последняя часть приобретет некомпенсированную
кривизну. Их плотность равна V2 L на единицу объема. Тяга на единицу
объема, создаваемая дрейфом, равна
F = - 2лир [a. i curl curl D^j ^ Lj =
= - ^ curl curl JD. (2)
Знак минус получается от того, что curl curl /> противоположно кривизне
по направлению. Сравнение с (1) дает соотношение F ='/2лкра L. Так как
тяга на единицу длины трубки равна 2rtpd|/<ifХи, то тягу на единицу
объема F можно записать в виде
F = 2я (dg/dt X к) ^ - L j = np?d|/dt X к. (3)
Подставляя это выражение для F в (2), нолучим
I
d%/dt X к ------ W. curl curl D. (4)
Теперь рассмотрим криволинейный интеграл от F по замкнутой плоской кривой
С (рис. 3). Трубки, перпендикулярные к плоскости
333
рисунка, показаны в сечении кривыми стрелками для обозначения направления
циркуляции, причем за положительное направление принято направление
против часовой стрелки. Из предыдущих рас-суждений ясно, что если
некомпенсированная кривизна такова, что трубка 1 дрейфует в С, то трубка
2 имея противоположную циркуляцию, будет дрейфовать из С. Подъемная сила
на каждую трубку направлена вдоль- F, а тяга на жидкость направлена
вдольF.
Рис. 3. Трубки, дрейфующие через кривую С.
Из рис. 3 ясно, что если F должно сохранять преобладающее направление
против часовой стрелки, то трубки с положительной циркуляцией будут
дрейфовать внутрь С, а трубки с отрицательной циркуляцией будут покидать
С, увеличивая таким образом результирующую положительных трубок.
Следовательно, криволинейный интеграл F вокруг С связан со скоростью
изменения результирующей циркуляции вокруг С. На рис. 3 элемент длины
дуги dr обозначен через F и представлена плоскость (плоскость рисунка),
по отношению к которой дрейфующие трубки имеют нормальные составляющие.
Число положительных трубок, пересекающих d,r влево в единицу времени, в
|dr cos # раз больше числа положительных трубок на единицу площади. Число
отрицательных трубок, покидающих С, такое же самое. Отрицательная трубка,
покидающая С, есть та же самая в отношении циркуляции С, что и
положительная входящая трубка. Компоненты трубки в плоскости рисунка не
вносят никакой доли в циркуляцию С. Каждая трубка внутри С вносит 2яи
единиц циркуляции в С, а так как плотность разлагаемых трубок в
направлении, нормальном к рисунку, есть '/г L, то скорость изменения
