Статьи и речи - Максвелл Дж.К.
Скачать (прямая ссылка):
циркуляции вокруг С
334
равна
d!dt (circ С) - <|> 2:tx ^ [}j (?dr cos 0).
На основании (3), учитывая, что d%/dl нормально к х, можно записать
F dr = npxLl dr cos 0,
так что
d/dt (circ С) = 1/p ф Fdr.
По мере того как размеры контура С становятся малыми (однако недостаточно
малыми, для того чтобы были различимы индивидуальные трубки), эти члены,
разделенные на площадь, охватываемую С, приближаются к компоненту,
нормальному плоскости рисунка
d/dt (curl q) = 1/pcur! F, (5)
где Q- макроскопическая скорость среды (в отличие от микроскопической
скорости жидкости).
Теперь напишем q в виде clD/dt и перегруппируем члены в (5). Принимая во
внимание (2), получаем
curl F = р curl д2 D/dt2,
F = - G curl curl D. (6)
За исключением пекоторых деталей, относящихся к дрейфу, эти уравнения
представляют расчлененную форму (1). Теперь определим два новых вектора
для того, чтобы ввести дрейф явным образом (выбор символов
предусматривает возможность аналогии с
электромагнитными полями, как это следует из дальнейшего); пусть из
уравнения (3)
dEjdt = ki (ярLdl/dtxa) - кгF
и В=-к2 curlX), где kt и /с2 - произвольные постоянные. Теперь уравнения
(6) принимают впд
curl dEjdt = - (kip/kz) d2 Bjdt2, curl В = (k2/kiG)dE/dt.
Если предположить, что установившиеся поля отсутствуют, то интегрирование
по времени первого из этих уравнений и приравнивание к нулю дает аналог
вихревых уравнений Максвелла для свободного пространства
curl Е = - (kip/k2) OB/dt,
curl B = [k2/k1G)dE/dt ^
335
Так как &2 и к\ произвольны, то можно выбрать /с2= (>ки и тогда получим
curl JE = -dB/dt, curl В = (1/с2) dE/dt,
где c2=G/p - квадрат волновой скорости.
Из этого факта, что В есть вихрь вектора, получаем
div В = 0. (8а)
На основании (4) получаем div dJS/dt=0 или div Е не зависит от времени.
Так как мы предположили, установившиеся поля отсутствуют, то для
рассматриваемых частных случаев должно быть
divjEJ = 0. (9)
Если выбрать к i безразмерным, то d E/dt будет иметь размерность силы на
единицу объема, а Е - размерность импульса на единицу объема. Так как
curl В безразмерен, то В имеет размерности &2, которые при специальном
выборе, сделанном для получения уравнения (8), представляют размерность
массовой плотности. Волновая скорость должна быть независимой от выбора
к\ и /с2- факт, который подтверждается уравнениями (7).
IV. Заключение
Было показапо, что поперечное движение трубок относительно жидкости
получается как результат смещений, индуцирующих некомпенсированную
кривизну. Это исключает необходимость в "холостых колесах" и "упругих
ячейках" максвелловской модели Вместе с тем поляризация, вращения и
дифференциальные вращения получаются естественным путем, заменяя гипотезу
гидростатической устойчивости Мак-Келлога. Как было показано в настоящей
статье, уравнения Максвелла также удовлетворяют модели Бернулли,
свободной от большей части уродливых особенностей моделей Максвелла и
Мак-Келлога.
Симметрию вихревых уравпений Максвелла в том виде, как они применяются к
вихревой губке, легко истолковать физически. Первое из уравнений (8),
аналог закона Фарадея, утверждает, что накопленная завихренность,
создаваемая дрейфом, определяет скорость вращения среды; второе уравнение
утверждает, что дифференциальное вращение определяет дрейф. Очевидно,
дрейф и сопутствующие ему структурные изменения являются теми свойствами
вихревой губки, которые резко отличают ее от упругих твердых тел. У
последних члены, соответствующие Ш dE/dt, отсутствуют.
Так как эти представления не могут Сыть проверены наблюдением, то они не
обладают физической реальностью. Цель на-
1 Е. W h i 11 a k e г, см. сноску 1 на стр. 247,
336
стоящей статьи не в том, чтобы предположить, что Вселенная наполнена
эфиром со свойствами, описанными в этой статье. Однако эта статья
трактует об эфире и, следовательно, относится к истории развития физики.
Для того чтобы рассматривать задачи математической физики, часто
необходимо и почти всегда полезно использовать модель, основное значение
которой именно в том, что опа полезна в рассматриваемом случае. В этом
отношении рассматриваемые понятия относятся к теоретической физике.
Следует упомянуть, что польза этой модели не исчерпывается выводом
уравнений Максвелла.
Приложение 1. Векторная природа трубок
Для некоторых целей можно разлагать длины трубок подобно векторам -
метод, полезный для наглядности.
Длинный круговой цилиндр с циркуляцией 2тех и поперечной скоростью | в
жидкости с плотностью р подвергается действию подъемной силы 2itxpg на
единицу длины. И, наоборот, этот цилиндр развивает тягу в противоположном
направлении такой же величины на жидкость. Рассмотрим трубку длиной I,
где I = - ilx+Jly + k lz, причем направление совпадает с направлением к.
Пусть d,ydt - скорость дрейфа. Только компонента d%/dt, нормальная кI,
связана с тягой/, т. е. f = 2яхр<3|/Л X I-
Рассмотрим теперь тягу, создаваемую трубкой длиною 1У вдоль оси у с
вертикальным дрейфом ? и другую трубку длиною Iz вдоль оси z с
