Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
J I l \ , / I \ ,/ I \ , v I < I / I , / I \ / I \ , >,
=______+___!i+U+U-X+i-l\+...\---------+_!_ + -+
I J i- J
А Г 1 ii! 1 A 1 • ]
+' / ' i Г + 1 [ 1 ' + /1 \ 'i ¦ +
c...,.j . L.'J J J #
Если собрать стоящий в фигурных скобках ряд по всем неприводимым диа-
*
граммам в новый символ 6Ш. то G будет иметь вид
6= +...&% + +
Эту последовательность диаграмм интерпретируем как ряд вида
G = Go -f* GqEiGq -f* GqUGq^Gq ~f*.., = Go -f* GqEiGj (П.63)
G = I^ = ^rri- (П.64)
2 называется собственной энергией.
В k-представленни G~1 (k, E) = G~J (k, E)- S(k, E) и, в сравнении с G'1
(k, E) = E - E (k) =E - (ftV)/2m [см. (П.49)], получаем
G (k' ^ E - [?(k) + S(k, E)Y (IL65)
Собственные значения энергии E (k) невозмущенной задачи, следовательно,
будут смещаться потенциалом F(r) на величину 2 (k, Е).
В случае статистически распределенных потенциалов (жидкости, аморфные
твердые тела) плотности состояний, вероятности перехода и другие
физические величины (и, тем самым, и функция Грина) должны еще
усреднять-
ся по возможным конфигурациям потенциалов.
166
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
N
Пусть V (г) = 2 v (r - Pi) ° неупорядоченным образом распределенны-i=1
ми местами атомов р;. Тогда определяют функцию распределения Р(ри ...
..р^) с J Р d'tl ... (2тл, = 1, которая дает вероятность определенного
распределения р;. Все физические величины являются заданными как функции
р I. Усреднение происходит, следовательно, посредством умножения на Р и
интегрирования по всем координатам.
Ограничимся некоторыми замечаниями относительно усреднения самой функции
Грина. Типичный член борновского ряда
(G0FGo.yG0FGo)kk, = 2^ (k- Е) V (к- ki) Go (кх, Е)Х к1ка
xF(ki- К)5 (к2- E)v{K k')G" (к'>Е) (п-66)
преобразуем, прежде всего, при помощи У(г) = 2г;(г- Р(), причем пользу-
I
емся тем, что V (к, к') связано с фурье-образом отдельного потенциала vi
(г)
посредством соотношения V (к, к') = 2 ехР [~~ г (к - к')• рг] vl (к, к'):
I
2 2 Go (к' Е) ехР [" 1 (к - ki)'Pi] vi (к> ki) G0 (ki' E)x kxk 2U'l"
Xexp[- i(k1-k2)-pir]vl, (kvk2)Ga(k2, E)X
Xexp [- i (k2 - k')-pr] vt" (k2, k') GQ (к', E). (П.67)
Это выражение усредняем с использованием функции распределения Р(pi, ...
.., рл-). Интегрирование по не входящим в показатели экспонент р / и
суммирование по I совместно с функцией Р приводит к "корреляционной
функции" 3), которая зависит от стольких радиус-векторов, сколько
появляется факторов v 1 (к, к7) в (П.67):
/
2 j" J J dTi dx2 dx3 (r) (Pi' p2' рз) Go (k' E) exp ?(k - ki)'P,]x ¦
klk2
Xyi(k' kl)Go(kl>i?) eXP[-4kl-k2)'P2] У2(к1' k2)X
XG0 (k2 ' E) eXP ¦[- [(к2~к')-Рз] V3 (k2 ' k') G0 (к'*'Я)- (П-68)
Каждый член борновского ряда содержит, таким образом, корреляционную
функцию 3){ри р^), которая зависит от усредненного пространственного
распределения п атомов. Для периодической решетки с узлами R; она
принимает вид
(r)(Pi'--Pa)= 2 e(Pi-P2-Ri1)6(Pa-P3-R0"-
ll lN
¦••^(Pn-l-Pn~'Rln_1)^(Pn-'Rlny (П-60)
В случае неупорядоченных потенциалов корреляционная функция также
содержит компоненты 6-фуйкционального типа. Три вектора в (П.69)
возникают ведь из усреднения по всем тройкам векторов р;, р;/, р;" в
(П.67). Однако при суммировании по I, V и I" там появляются также члены с
I = I' Ф I", I = V =
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
167
=г I" и т. д. Этим членам соответствуют в корреляционной функции
компоненты с 6 (рп - р",), б (рп - рп,) б(р", - р"") и т. д.
Такие компоненты допускают физическую интерпретацию. Прежде всего,
составляем диаграммы для типичных вкладов в (П.68). Горизонтальная линия
г.
означает опять множитель Go, соединение "4- -множитель вп(к, к').
Соединение двух Bn-линий (например vn и вп,) должно, однако, означать
здесь, что соответствующая корреляционная' функция содержит б-функцию 6
(рп - рп/). Последовательность сомножителей GQvnG0vn,G0vnn .... может
тогда (что, в частности, мы не собираемся обосновывать) читаться как
вклад в функцию Грина процессов, в которых электрон сначала летит
свободно (G0), затем рассеивается на атоме п (vn), затем летит свободно
дальше, рассеивается на п' и т. д. Если корреляционная функция содержит
б-функцию, то вмсс-то этого находим двукратное рассеяние на атоме. Таким
образом, каждой диаграмме соответствует последовательность процессов
рассеяния, причем следует принимать во внимание, что vn не являются
сопоставленными определенным атомам, а р" являются результатом
конфигурационного усреднения. Пример сопоставления диаграмм:
' Л 1 гч
uij_-
ф- JAL--о-.
Подобные рассмотрения важны, когда должно быть выполнено частичное
суммирование борновского ряда. Диаграммами, описывающими многократное
рассеяние на атоме или группе атомов, нельзя, например, пренебрегать,
когда собираются описывать связанные, следовательно, локализованные
состояния.
Мы пользовались результатами этого Приложения в разных местах данной
книги, особенно в гл. 3.
I 'I I I 1111 till
ЗАДАЧИ
К главе I ч. I
1. а) Покажите, что вариация <6Ф|Я|Ф> = 0, где
