Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
преобразования: ,
8 (со) оо Г dE dx dx F (T, E, ftco) X
X e-grad^mTM^M^- e-grad2 Im У¦ U> I 6 i jU E - En^r is j j 6 2
*dE+Ha - En, + iel-
JdE 1 <7t 1 e:grad 1 n'> |2 8 (E ~ En)8 (E +io ~ En')F E' *")00
^2 2l<"le-grad|n'>|2S(Bn- En, -f ftco) Г (7, E, ftш). (П.47)
CO
CO "
nnr
CO •
co"
nnf
Это представляет собой, по существу, приведенную в ч. II, § 68 форму е2.
Теперь обратимся к определению функции Грина (П.39) при наличии заданного
потенциала У (г).
Функция Грина Go для свободных* электронов легко определяется. Поскольку
свободные электроны описываются посредством их волнового вектора к,
используем к-представление G, т. е. фурье-обра'зы по ri и г2 функции
<k|Go± (Е) |к'>. Здесь |к>-нормированные по основной области плоские
волны.
*) В соответствующих равенствах (ч. 1.13.13) и (ч. II.89.8) знак
ошибочен!
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
163
Для упрощения описания ограничиваемся функцией G+, полагаем 6 = 0 и
опускаем в дальнейшем индекс "+".
<к | G | к'> = <к | G0 | к'> + 2 <к | Ga | к> <к | F | к"> <к" | G | к'>.
(П.51)
к"
Для матричных элементов в дальнейшем используем сокращенные обозначения
G(k, k', ?), G0(к, к, Е) - G0(k, Е), F(k, к') или также Gkk,, Gok, Fkk,.
Тогда можно формально записать (П.51) в виде
Полностью отсуммировать этот ряд можно только в немногих случаях. Обычно.
обходятся частичным суммированием, следовательно, приближениями, в
которых важно, какие члены в данной проблеме следует удерживать, а какими
можно пренебречь.
Определение диагональных элементов Gkk, для периодического потенциала V
(г) доставляет мало трудностей. Напомним изложенное в ч. I, § 19
приближение почти свободных электронов, в котором изменение энергии
свободных электронов вследствие слабого возмущающего потенциала
трактовалось по теории возмущений. Для определения зонной структуры
получается се-кулярный детерминант, который был приведен в (ч. 1.19.6)
для частной проблемы, а в (ч. 1.28.1) - в общем виде.
Разлагаем периодический потенциал в ряд, как в (ч. 1.19.1):
Тем . самым борновский ряд (П.53) для диагонального элемента кшк'
Исходим из уравнения (П.42) с Н = HQ = - (%2l2m) Д. Вставляя множитель 1
= 2 I I и переходя к k-представлёнию, получаем
к"
2 <к Is - Но I к"> <к" I Go I к'> = <к I 6 (ri ~ г2) I к'> = Skk, (П.48)
к*
или, вследствие Я0 | к> = (%2k2/2m) | к>,
(П.49)
Для V ф 0 находим, в соответствии с (П.48),
(П.50)
Gkk'= GokSkk' + (GoFG)kk'
(П.52)
и получить методом итераций борновский ряд
Gkk' " Сок^кк' + (GoFGu)kk' + (G0FG0FG0)kk, + ... (П.53)
(П.54)
m
Тогда получаем немедленно для <k|F|k'>:
<k|F|k'> = 2F(Km)"k'-k,Km-
(П.55)
то
164
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
принимает вид
Скк = G (к, Е) = G0 (к, Е) + 2 G0 (к- Е) V (Km) G (k + Кт, k, Е) =
т
= G0 (к, Е) + G0 (к, Е) V (0) G0 (к, Е) +
+ 2 G0 (к, Е) V (- Кт) G0 (k + Кт, ?) V (Кт) G0 (к, ?)+... =
т
• = е0(к, S){l + F(0)Go(k. Е) +
# +2 F(-Km)G0(k + Km,B)7(K)n)G0(k, ?)+...}, (П.56)
771
Определяем еще
Мпт - У (Кп - Кт) Go (к Кт, Е), так что (П.56) можно представить в виде'
(П.57)
(П.58)
Формальное суммирование дает
(П.59)
Определение полюсов (П.59) равнозначно решению детерминантного уравнения
Это, однако, в точности уравнение (ч. 1.28.1).
Посредством специальных предположений относительно вида функции V(г) в
методе функции Грнна могут быть классифицированы н другие приближенные
методы для определения зонной структуры твердого тела. .
Для систематического представления членов, возникающих в борновском ряде,
и их возможного комбинирования в частичные суммы оправдывает ожидания
диаграммная техника.
- Рассмотрим член ряда, например,
При суммировании встречаются члены, у которых некоторые к одинаковы.
Представляем отдельные возможные случаи посредством диаграмм по
следующему правилу:
Go посредством У (к, к') обозначается как Суммирование по к'
обозна-
чается сведением соответствующих линий F(k, к') и F(k', к").
del j 1 - М\ = detjl -F(Kn-Km)G0(k + Km, Е)\ =0, (П.60)
которое, с учетом (П.49), принимает форму
2 G0 (k, Е) V (к, к') G0 (к', Е) V (к', к") Gg (к", Е) V (к", к'") Gg
(к'", Е).
к'к"
(П.62)
Каждый множитель Go (к, Е) представляется линией ------------- Связь
двух
ПРИЛОЖЕНИЕ. ФУНКЦИИ ГРИНА
165
(П.62) содержит в таком случае пять следующих возможных случаев:
А | Л A I A Mi
/ I \ I / \ I \ I / I \ ill
Л^р" akKKh" ihhfc'' rW?'
где в первой диаграмме суммирование осуществляется по к' и к", во второй
диаграмме к' = к, в третьей к" = к'", в четвертой к'= к" и в пятой
диаграмме к = к' = к" = к'".
Диаграммы, которые имеют части, связанные только линией G0, называются
приводимыми. Они могут при частичных суммированиях распадаться на
сомпожптели. Например, возможно следующее пребразование борновского ряда:
I А м А | л л I
I I \ I I . / | \ | I | М|
&=________+_!_+ U +.11 +-ll-U + -i-U-+< i-i-l ¦¦+
A III A\ I А | л ! М л
/ I \ ill / / \ \ I / 11 I М I I
I / \
+ -i-i ^-+ ; i; + ...i i + i I + -i-i .U + _> i I i +...
Г| A A A 1 I ГI А л л 1
