Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
определить Е"(к) в окрестности к( (к-р-метод). • . .
12 о. Маделунг <
170
ЗАДАЧИ
а) Пусть ко есть зонный экстремум ^VkZ?n (k) |к = 0j. Вычислите ?(к0 + к)
во втором порядке теории возмущений. Проведите различие между случаями
невырожденного и вырожденного зонного экстремума.
б) Как упростить результат а) для двухзонной модели (п принимает только
два значения: 1, 2)?
в) Используя приближение почти сдибодных электронов, вычислите Е (к)
вблизи брэгговского отражения и сравните результат с тем, который получен
в б).
8. Для полупроводнпков со структурой алмаза или цинковой обманки к-p-
метод, упомянутый в задаче 7 к гл. Ill, IV ч. I, в окрестности точки Г
(ч. I, рис. 39) дает соотношение
Е'{Е'{Е' - Еа) (Е' + Д) - кгРг[Е' + 2/ЗД] > ;= 0
с Е' = Е (к) - t?k2/2т и данными параметрами и матричными элементами Eg,
Р и Д. Отсюда находят Е (к) для малых к для зоны проводимости и валентной
зоны. Какие эффективные массы появляются для электронов в зоне
проводимости и дырок в валентных зонах? (Самая высокая валентная зона
плохо описывается в этом приближении, поскольку принимается в расчет
только •общее взаимодействие четырех зон.) Какова структура зон
проводимости InSb для больших величин к? (Для InSb можно положить Д Eg,
кР).
Полезно получить уравнение, указанное выше, следуя оригинальной трактовке
Кейна [?. О. Капе: J. Phys. Chem. Solids, '1957, v. 1, p. 249].
К главам III, V-VII ч. I
1. Получите каноническое преобразование, посредством которого может быть
исключено взаимодействие электрон - плазмон из гамильтониана (ч. I.
12.8). Как изменяется эффективная масса электрона и плазмонная частота?
2. Рассчитайте Is-, 2s- и 2д-состояния экситона Ваннье в полупроводнике с
анизотропной эффективной массой электрона (тоц, т±) и анизотропной
диэлектрической постоянной (ец, 8j_) (пример: CdS).
3. Пусть бозонный газ имеет концентрацию п = N/Vg. Распределение бозонов
по возможным квантовым состояниям Eq определяется функцией распределения
Бозе
/в = (ехр [(Eq - р)МвГ] - I)-1.
а). Определите температурную зависимость химического потенциала ц(Т) и
сравните ее с температурноц зависимостью химического потенциала для фер-
мионного газа.
б) Почему для фононов при всех температурах р, = 0?
4. Дисперсионные кривые для фононов в алмазе (ч. I, рис. 48).
- а) Почему вырождены при q = 0 LO- и ТО-ветви?
б) Иснользуйте,результаты задачи 3 к гл. II, IV ч. I, чтобы обсудить
дисперсионную кривую по оси Д.
Алмаз имеет гранецентрированную кубическую решетку с базисом.
5. а) ^Рассчитайте плотность состояний, показанную на ч. I, рис. 49, а
для линейной цепочки с одноатомным и двухатомным базисом.
б) Для моноатомной линейной цепочки рассчитайте удельную теплоемкость и
обсудите ее температурную зависимость при низких и высоких температурах.
*
6. а) Рассчитайте намагниченность М(Т) при низких температурах для
двумерной квадратной решетки и для простой кубической решетки.
б) Какие трудности возникают в двумерном случае? Каковы причины для них и
какие следствия из нцх вытекают?
в) Каков эффект (слабого) магнитного ¦ поля? ~
ЗАДАЧИ
171
7. а) Рассчитайте намагниченность газа свободных электронов при низкой
температуре, используя модель коллективизированных электронов ^Стоунера с
заданной концентрацией электронов п и обменной энергией V.
б) Для каких значений параметров нет спонтанной намагниченности при Т
- 0; для каких значений М (0) меньше намагниченности насыщения?
К главе VIII ч. II
1. Используйте приближение деформационного потенциала для расчета времени
релаксации т (Е) в случае взаимодействия между электронами и LA-фононами
в невырожденном полупроводнике с параболической зоной проводимости. Как
велик показатель степени г в т(Е) = т0Ег?
2. Найдите каноническое преобразование, которое исключает координаты
электрона из гамильтониана (ч. II. 50.6). Это преобразование - первый шаг
к улучшенной теории большого полярона (метод Ли - Лоу - Пайнса).
Следующий шаг - дальнейшее преобразование гамилътона с помощью унитарного
оператора U = ехр [^/(q) - aq/*(q)]j. Функция f[q) должна быть выбрана
таким образом, чтобы ожидаемая величина Е = <0|#trans|0> стала
экстремальной (|0>-основное состояние,, нет фононов).'Каков смысл второго
преобразования? Что отличает результат для малых q от (ч. II. 50.13)?
3. В анизотропном твердом теле общее соотношение между компонентами
плотности тока и приложенными электрическим и магнитным полями есть
Н - OijEj -J- aijhEjBh -f- a-ijhiEjBhBi + ...
а) Какие компоненты тензоров ац, аци, ацщ исчезают для кубической
симметрии? Какие соотношения имеют место между оставшимися компонентами?
б) Каковы отклонения от изотропного случая для проводимости, коэффициента
Холла и магнеторопротивления?
4. Рассмотрите невырожденный смешанный полупроводник. Электроны и дырки в
нем одновременно принимают участие в явлениях переноса.
а) Используя приближение времени релаксации, вычислите коэффициенты
переноса в (ч. II. 66.15) и из них - удельную электропроводность,
