Физика твердого тела. Локализированные состояния - Маделунг О.
Скачать (прямая ссылка):
я=2 ^ |fe(1) |к) ^+т 2 Ife(2) | ^ ct'ePv.ct.
U' * XV Ц.Ц/
[(ч. I, II. А.31) н (ч. I, II. А.ЗЗ) для фермионов], ведет к уравнению
<А/ | fe(1) I р) + 2 I fe(2) I fxv) ~ I fe(2) I vp)) = 0,
v
где |p> - заполненное и ]>,)-незаполненпое состояния и где сумма берется
но всем заполненным состояниям.
б) ^Эбсудите свойства "самосогласованного одночастичного гамильтониана"
#sc = 2 ( I /г(1) | р> + 2 (^v I fe(2) I Pv> - 1 fe(2) I VP"
Хц. \ v
где нет ограничений относительно |р) и |Х>. В частности, покажите, что
все матричные элементы между заполненными и незаполненными состояниями
равны нулю.
в) Используйте "результаты из а) и б), чтобы получить уравнения Хартри-
Фока в представлении чисел заполнения из (ч. 1.3.1).
2. а) Обсудите обменное взаимодействие на простом примере системы,
состоящей из двух тождественных частиц. Гамильтониан есть Я = Н\ + Я2 + +
1112, Я, = /г(п), H2 = h(r2), Я]2(п, г2) =Я12(г2, п). Рассматривайте
взаимодействие в качестве возмущения. '
б) Пусть в момент времени t - 0 две частицы находятся в состоянии Ф(гь
г2, 0) = фг(г1)ф*(г2), где определяется Яф" = Erityn- Обсудите временную
зависимость- ф (rj, r2, t).
в) Обсудите трехчастичный гамильтониан Я = Я, + Я2 + Я3 + Я,2 + Я23 + +
Я3]. В какой мере могут быть выполнены расчеты аналогично а)? .Какие
возникают трудности?
К главам II, IV ч. I
1. а) Каким образом устанавливается связь между свободной энергией F,
термодинамическим потенциалом ?2, энтропией S газа свободных электронов и
его полной энергией 17?
б) Вычислите следующие параметры газа свободных электронов как функцию
концентрации, электронов и объема при Т = 0:
кр, Ер, vp, U, F, Q, S.
в) Для Т = 0 функция распределения Ферми есть ступенчатая функция. Отсюда
поэтому следует, что
<" , ef
j> (E)fe(E)g(E)dE = j' F (E) g (E) dE.
0 0
ЗАДАЧИ
л --
Вычислите поиравку первого порядка к этому соотношению для Т Ф О н
используйте этот результат, чтобы определить температурную зависимость р,
U = NE [(ч. I. 6.10)], F, Q ж S при низких температурах.
2. Определите плотность состояний g(E), энергию Ферми Ер и среднюю'
энергию Е(Т = 0) для одномерного и двумерного электронного газа.
3. Выражение для намагниченности,, приведенное в (ч. I. 9.2), следует из
(ч. I. 9.1) после утомительного вычисления. Чтобы воспроизвести выкладки,
воспользуйтесь работой Вильсона [34]. Вывод первых двух членов в (ч. I.
9.2) сравнительно простой. Парамагнетизм Паули (первый член): используйте
ч. I. рис. 10, чтобы вычислить вклад электронов в намагниченность. _
Диамагнетизм Ландау (второй член): вычислите среднюю энергию Е, используя
плотность состояний (ч. I. 8.16), и из нее намагниченность. (Указание:
для слабых магнитных полей применима следующая аппроксимация:
о° ^ °°\ *
^ Е f re -f- -i-j = [ F (х) dx - j I. Как устанавливается связь
между
п=о о Х о J
множителем перед скобками в (ч. I. 9.2) и плотностью состояний y(Sp) на
поверхности Ферми?
4. Симметрии простой кубической решетки (ячейка Вигнера - Зейтца:
ч. I, рис. 18, а, зона Бриллюэна: ч. I, рис. 28, а).
а) Определите элементы пространственной группы и точечной группы.
б) К каким классам можно свести точечную группу (группа вектора к = = 0)?
Какие размерности имеют неприводимые представления?
в) Какие элементы, классы и неприводимые представления имеет группа
вектора к = (кх, 0, 0) (точка на Д-оси зоны Бриллюэна)?
г) Какие элементы, классы и неприводимые представления имеет группа
вектора к ==¦ (я/а, 0, 0) (точка X на поверхности зоны Бриллюэна) ?
д) Какие утверждения могут быть сделаны из результатов пунктов а) -
г) относительно возможного вырождения и связей между зонами вдоль Д-
оси?
5. а) Рассчитайте Пять паинизших зон "свободных электронов" вдоль Д-оси в
зоне Бриллюэна для простой кубической решетки (аналогично ч. I, рис. 41).
Вычислите соответствующие собственные функции.
б) Для зон, которые вырождены вдоль Д-оси (или на Г, или .на X)
сконструируйте линейные комбинации из волновых функций таким образом,
чтобы новые функции либо были инвариантны относительно группы операций,
либо уменьшали множество функций, которые преобразуются одна через
другую. Такие множества образуют базисные функции неприводимых
представлений группы вектора к.
6. В окрестности экстремумов и седловых точек зоны зонная структура
функции Еп (к) может быть описана в виде
Еп (к) = Е, (k0) + 2"i (*,-*0i)2- .
г
В таких критических точках существует сингулярность в плотности
состояний, стоящей под интегралом в (ч. I. 22.4).
а) Покажите, что существует разрыв в dg/dE ("излом" в'плотности
состояний) в этих точках.
б) Какие типы критических точек возникают в одно-, двух- и трехмерном
случае? Как ведет себя g(E) вблизи g(E0) (ср. ч. II, рис. 68)?
Критические точки в плотности состояний являются источниками
характеристической структуры в спектре поглощения полупроводников (см. ч.
II, § 68).
7. Пусть известны функции К"(к) и ф"(к, г) для к = кб. Используя
уравнение Шредиигера для и"(к, г), можно развить метод возмущений, чтобы
