Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
симметрии волновых функций, описывающих систему осцилляторов и бозонов.
Ради простоты мы изложим упрощенный вариант теории, а за более строгим
изложением теории отсылаем читателя к более полным и подробным учебникам
[1, 4, 10]. В том же разделе мы введем операторы, описывающие фермионы. В
этом случае строгая интерпретация теории содержит в себе и вопросы
вторичного квантования [1, 4, 10], которых мы не будем касаться в данной
книге. Однако, как будет показано во второй части настоящей главы,
операторы, описывающие спин электрона, можно представить в форме,
аналогичной форме фермионных операторов. Поэтому краткое изложение этих
вопросов будет весьма полезным.
В разделе 1.11 были введены собственные значения и собственные векторы
координат и импульсов одномерной частицы, которые не зависели от вида
потенциала V (q). Следовательно, нам уже известны собственные векторы
координаты и импульса осциллятора. В последнем разделе первой части мы
дадим примеры полученных в разделе 2.3 энергетических базисных векторов в
координатном представлении. На языке волновой механики они называются
энергетическими собственными функциями осциллятора.
112
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
В разделе 1.19 мы рассмотрели развитие во времени волнового пакета с
минимальной неопределенностью для свободной частицы. В гл. III нами будут
развиты значительно более мощные математические методы оперирования с
волновыми пакетами. Волновые пакеты с минимальной неопределенностью для
осциллятора будут играть очень важную роль при дальнейшем рассмотрении
электромагнитных полей в линиях связи. Эти вопросы мы будем изучать
несколько позднее в других главах.
Во второй части данной главы мы введем эрмитовы операторы, описывающие
спин электрона. Нерелятивистская теория спина основывается главным
образом на интуиции (в отличие от релятивистской дираковской теории [1,
4], в которой спин появляется автоматически). В целях обоснования
введения спина в нерелятивистской теории мы очень кратко изложим
квантовую теорию углового момента, Коммутационные соотношения для
оператора углового момента будут использоваться нами и для спина. Но для
согласования теоретических значений спина с экспериментальными
потребуются дополнительные ограничения. Мы дадим также физическую
интерпретацию оператора спина на основе операторов рождения и уничтожения
фермионов.
В последнем разделе второй части мы рассмотрим поведение электронного
спина в постоянном магнитном поле и обсудим роль оператора спина в
гейзенберговском представлении. Последнее будет полезно для дальнейшего.
В третьей части будет рассмотрен нерелятивистский гамильтониан электрона
в неквантованном электромагнитном поле.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 2.2. Осциллятор в гейзенберговском представлении
Рассмотрим классический одномерный гармонический осциллятор единичной
массы, описываемый координатой q и импульсом р. Его функция Гамильтона
имеет вид
Н = + (2-1)
где константа со2 связана с упругой силой, действующей на частицу. Как
известно (см. (1.229)), классические
2.2] ОСЦИЛЛЯТОР В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ИЗ
уравнения движения в гамильтоновской форме имеют вид
1 - Ъ=р- р-2")
- "V <2-2ь>
Обычно эти уравнения сводятся к одному уравнению второго порядка. Для
этого обе части соотношения (2.2а) дифференцируют по t и затем с помощью
равенства (2.2Ь) исключают член с dpldt. Таким образом получается
уравнение
$ = - "'?• <2-3>
имеющее решение
q (г) = A cos со г -Т В sin юг, (2.4а)
где А и В - постоянные. Подставляя это решение в (2.2а), получим
р (г) = - ш4 sin юг -Т ю В cos юг. (2.4Ь)
Если при г = 0, q равно q (0) и р равно р (0), то можно
выразить А и В через q (0) и р (0) и получить следующие вы-
ражения для р (г) и q (г):
q [t) = су (0) cos юг +^вшюг, ,2
р (г) = - щ (0) sin юг + р (0) cos юг.
Широко известен другой способ решения системы
(2.2а), (2.2Ь) (см. [И, 12)). ___
Умножим обе части уравнения (2.2а) на У"ю/2, а обе части уравнения (2.2Ь)
на + i (Y2ю)-1 и сложим полученные выражения. В результате получим два
сопряженных уравнения:
~ = - та, (2.6а)
~ = ша% (2.6Ь)
114
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
где введены обозначения:
я =^т=((0? + Ф)- а" ip^ (2Ла)
Таким образом, а и я* - комплексно сопряженные величины. Соотношения
(2.7а) легко разрешаются относительно р и д:
7 = у=(а* + а), р = i y^-f-(а - a,), (2.7b)
Решения уравнений (2.6а) и (2.6Ь) имеют вид
a{t) = а (0) е-*"( == ~^=г [со? (0) + ip (0)] е~ш, у
(2.8)
а' (t) = а* (0) еш - /_= [coj (0) - ip (0)] eiat.
У 2о)
Введение переменных а и а* упрощает и без того простое решение уравнений.
Функцию Гамильтона (2.1) с помощью (2.7) можно выразить через величины а
и а*. После небольших преобразований для функции Гамильтона получим
следующее выражение:
Н = со а*а, (2.9)
которое выглядит еще проще, чем в переменных р и q.
Формально уравнения (2.6) можно получить непосредственно из гамильтониана
(2.9), если уравнения движения в гамильтоновой форме взять в виде
