Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
где
Н\ = UtH0U0, UB. (1.240)
Читателю предоставляется возможность в качестве упражнения показать, что
векторы динамических состояний системы удовлетворяют уравнению d I il)r
(0> т
а ... = я*ц?г(0>, (1.241)
где
H\ = UtH[U0. (1.242)
102
ДИРАКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
[ГЛ. I
Мы предоставляем читателю также доказательство физической эквивалентности
представления Шредингера и представления взаимодействия. Последнее
является промежуточным между представлениями Гейзенберга и Шредингера. В
этом представлении изменяются одновременно и базисные векторы, и векторы
динамического состояния системы.
Следует отметить, что аналогичным образом можно ввести и другие физически
эквивалентные представления, если только определить соответствующий
унитарный оператор U. С другим таким представлением мы познакомимся в
одной из следующих глав этой книги.
1.18. Волновая механика
Мы уже достаточно много говорили о волновой функции и о волновой механике
вообще. Поэтому в данном разделе мы только бегло напомним основные
понятия волновой механики. Волновая механика есть квантовая механика в
шредингеровской картине*) в координатном представлении. Приведем теперь
основные полученные результаты для одномерной частицы.
Координатное представление (шредингеровское) определяется известными
уравнениями для собственных значений:
q\q'> = 4 I q'>- (1.243)
Соотношение ортонормировки
<q"\q') = 8 (?'- q") (1.244)
может рассматриваться как координатная волновая функция в координатном
представлении. Левая часть равенства
(1.244) является также представителем собственного кет-вектора | q'y в
^-представлении. При этом система
*) Автор пользуется термином "картина", когда речь идет о различных
способах описания изменения состояния во времени (шредингеровская
картина, гейзенберговская картина, картина взаимодействия). В остальных
случаях автор использует термин "представление": импульсное,
энергетическое, координатное и т. д. Часто в литературе и в том и в
другом случае употребляется термин "представление". Из приведенной выше
фразы видно, что термин "картина" в некоторых случаях действительно
удобен. (Прим, перев.)
(.18]
ЁОЛНОВАЯ МЕХАНИКА
103
собственных кет-векторов является полной, так что
+ оо
\W>dq'W\ = I. (1.245)
Векторы состояния | ф (0> удовлетворяют уравнению движения
^ 4г I V (0> = Н\ 'Р (0> = ^ (?)] I (0>. (1-246)
Представитель состояния |ф(0) в ^-представлении имеет вид
ф(д', (1-247)
Это как раз и есть шредингеровская волновая функция состояния |ф(0) в
момент времени t. Если мы возьмем скалярное произведение уравнения
(1.246) на бра-вектор (q'\, то, используя соотношения (1.247), (1.159) и
(1.160), получим волновое уравнение Шредингера, зависящее от времени:
Мы использовали равенство
-§Г Ф (?',*) = <?'|-^'|Ф(0>.
которое справедливо, потому что собственный вектор {q | в представлении
Шредингера не зависит от времени.
Благодаря равенству (1.215) среднее значение функции F (р, q) в момент
времени t равно
(F {р, д)> = <ф (t) | F (р, q) | ф (*)> =
+ оо
= jj <^{t)\q">d'l'<q'\F(p,q)\q"}dq" (q"\^it)y
4-00
= j ф* (q', t)F{±?r, q') Ф (g\ t) dq'. (1.249)
Здесь мы дважды использовали соотношение полноты
(1.245), а также соотношения (1.154), (1.155) и 1.247).
104
ДНРЛКОВСКАЯ ФОРМУЛИРОВКА
ТГЛ. I
Собственный кет-вектор | р'У оператора р в ^-представлении согласно
равенству (1.148) имеет вид
('>'>=71аеч,(т)- ('-250)
Это выражение является собственной функцией оператора импульса в
координатном представлении. С помощью этой функции преобразования мы
можем переходить в шредин-геровской картине от импульсного представления
к координатному и обратно.
1.19. Свободная частица. Изменение во времени волнового пакета с
минимальной неопределенностью
В этом разделе мы рассмотрим свободную частицу, для которой потенциал V
(q) = 0. Тогда гамильтониан системы принимает вид
Я"-& = Я+- ".251)
Так как система консервативна, то величина Н является интегралом
движения. А так как, кроме того,
[р,Я] = 0, (1.252)
то величина р также является интегралом движения для свободной частицы.
Оператор р удовлетворяет уравнению для собственных значений
Р\Р'>=Р'\Р'>, (1-253)
где -оо < р' <у -(- оо. Если мы теперь подействуем оператором Н слева на
обе стороны равенства (1.253), то в силу коммутативности операторов Н и р
получим
Нр\ р'у = pH I р'у = р'Н\ р'у. (1.254)
Отсюда следует, что и вектор Н\р'У также является собственным кет-
вектором оператора р с собственным значением р'. Поэтому кет-вектор Н |
р'У может отличаться от кет-вектора | р'У только постоянным множителем,
который обозначим через Е. Тогда можно написать
Н\р' у = Е\р'у. (1.255)
1.19]
СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
105
Последнее уравнение и является как раз уравнением задачи на собственные
значения энергии. Благодаря коммутативности операторов р и Н собственный
кет-вектор оператора р одновременно является и собственным кет-вектором
оператора Н. Поэтому мы можем записать уравнение (1.255) в виде
С помощью (1.254) и уравнения (1.253) мы можем} получить
