Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 44

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 122 >> Следующая

= Я2Р3 Яз P2i - Я3Р1 Я1Р31 ^з = Я1Р2 Я2Р11
(2.70Ь)
где г = (дх, q2, g3) и р = (рг, р2, р3).
Если частица массы т несет заряд | е\, то с этим зарядом связан
орбитальный магнитный момент [13]
в единицах МКС.
До сих пор мы рассматривали частицы, движущиеся в одном измерении, но
обобщение на трехмерный случай очевидно. Для квантования трехмерного
движения частицы постулируем (см. (1.117)) следующие коммутационные
соотношения:
ки ЯА = Ipi. РА =" 0, ки рА ihbij, (2.72)
где i, j - 1,2 или 3. Таким образом, в квантовой механике, как и в
классической, каждая степень свободы независима от других; только
сопряженные переменные щ и pi, относящиеся к одной и той же степени
свободы, не коммутируют между собой.
Коммутационные соотношения (2.72) дают возможность рассмотреть
квантовомеханическое поведение оператора I. Из условий" (2.72) и
определения (2.70) следует, что компоненты эрмитова оператора lu lz и 13
удовлетворяют следующим коммутациоппым соотношениям:
Вц М - ifil3, [l2, l3l = Шх, [Z3, 1г] - ihl2 (2.73a)
s*
(2.71)
132
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
ИЛИ
[lh lj] - ihlk, (2.73b)
где индексы г, j и к получаются из индексов 1,2,3. Циклической
перестановкой эти коммутационные соотношения вместе с определением
полного углового момента
l2 = l\ + l\ + II (2.74)
определяют квантовые свойства углового момента [4]. Мы не будем
производить полный анализ. Заметим только, что компоненты оператора I
имеют собственные значения, равные целому или полуцелому числу Й. Так как
из экспериментов известно, что собственные значения электронного спина
равны Й/2 или - Й/2, то можно предположить, что компоненты оператора s
также удовлетворяют коммутационным соотношениям (2.73). Если оператор 8
выразить через оператор о, то эти соотношения примут следующий вид:
[сц, o'jl = 2iak, (2.75)
где индексы г, /, к получаются из 1, 2, 3 четной перестановкой. Однако
этого предположения недостаточно для того, чтобы оператор 02 имел только
два собственных значения+1 или-1, как этого требует эксперимент (s2 = = +
Й/2). Ниже мы покажем, что оператор <JZбудет иметь два собственных
значения +1 только в том случае, когда дополнительно к условиям (2.75) мы
подчиним его следующим антикоммутационным соотношениям:
{щ, <ц}=2 64/. (2.76)
Перед этим мы сначала выведем из соотношений (2.75) и (2.76) некоторые
полезные алгебраические свойства операторов ц2. Если i = j, то согласно
(2.76) имеем
сг? = /, i = 1, 2, 3. (2.77)
Следовательно, оператор, равный квадрату каждой компоненты оператора or,
является тождественным оператором. Сложив выражения (2.75) и (2.76),
получим (при i =f= j)
<7i<7j =\iak, (2.78)
где индексы i, j и к получаются из 1, 2, 3 четной циклической
перестановкой.
2.6]
СПИНОВЫЙ ОПЕРАТОР ПАУЛИ
133
Введем теперь новые операторы <г+ и а_:
<з± =-у-(б1=Мб2), 5+ = <3-, <3- = <з+- (2.79)
Они подчиняются следующим коммутационным и антиком-мутационным
соотношениям:
[о+, Oil = + о3, (2.80а)
[о+, о2] = ia3, (2.80Ь)
[о+, o3I = -f- 2о,+, (2.80с)
к, o_I = o3, (2.80(1)
[ц+, o+] = 0, (2.80е)
[o'-, o_] = 0, (2.80f)
(о+, Ox} = I, (2.80g)
{о+, o2} = zh (2.80h)
{о+, o3} = 0, (2.801)
к, o_} = I, (2.80j)
к, o+} = 0, (2.80k)
{О-, o_} = 0. (2.801)
00 о и (2.801) мы заключаем, что
4 II о II р (2.81)
Заметим, что все эти соотношения следуют из интуитивных предположений
(2.75) и (2.76) и определения (2.79).
Теперь вернемся к задаче о собственных значениях операторов п{. Так как
согласно (2.77) = I, то задача
сводится к задаче, уже решенной нами в разделе 1.6. Полученные там
собственные значения были равны +1 и -1. Таким образом, собственные
значения операторов <rlt <т2 и аз равны +1. Как и было обещано нами
ранее, это утверждение получено из предположения (2.76). Теперь нужно
выбрать удобное представление. Так как операторы а1: <т2 и <т3 не
коммутируют друг с другом, то они не могут быть диагональными в одном и
том же представлении. Поэтому мы выберем представление, в котором
оператор сг3 диагоналей. Как было указано в разделе 1.6 (см. соотношения
(1.32)), базисные векторы этого
134
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
представления имеют вид | + 1) и | - 1) и
03 I 1; = I 1>, 03 I -1> = -1 I - 1). (2.82)
Кроме того, согласно соотношениям (1.37) матрица для
оператора 03 имеет вид
' 1 О 0з= 0-1
(2.83)
Соотношения полноты и ортонормировки (см. (1.43), (1.33), (1.34)) имеют
вид
| + 1><+ 1 | + | - 1> <- 1 | = /, < + 1 | + 1> = <- 1 I - 1> = 1,
<+ 1 | -1> = <-1 | + 1> = 0. (2.84)
Найдем теперь операторы и 02 в представлении,
в котором оператор 03 диагонален. Наиболее просто это сделать с помощью
операторов 0+ и 0_. Из соотношений (2.80с) и (2.80i) следует, что
0+03 - 030+ = - 2о+, (2.85а)
о+03 + о30+ = 0, (2.85Ь)
0_03 - 030_ = 2а_, (2.85с)
0_03 + 030_ = 0. (2.85d)
Если мы сложим равенства (2.85а) и (2.85Ь), то получим
0+03 = - <*+¦ (2-86)
Пусть обе стороны этого соотношения действуют на кет-вектор | + 1>. Тогда
с учетом (2.82) мы можем получить равенство
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed