Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
вектора | п - 1) лишь на постоянный множитель:
а | ге) = сп | п - 1). (2.36)
Согласно условию (2.33) норма вектора а | п) равна <п | а+а | ге> = п (п
\ п) = |cn|2 (п - 1 | п - 1>.
Если <гс - 1 | п - 1> равно единице, то <п \ п> также будет равно
единице. Это возможно только в том случае, если положить | сп | = У п.
Фаза сп произвольна, и ее можно положить равной нулю. В результате
уравнение
(2.36) принимает следующий вид:
а\п)> = Уп\п - 1>. (2.37)
В этом равенстве мы ограничиваемся значениями п боль-
шими нуля, ибо состояние | - 1) не имеет смысла. Если же п = 0, то
уравнения (2.37) приводит к равенству (2.34).
Аналогично, исходя из соотношения (2.35), можно написать
а+ | пу - Уп -)- 11 п + 1>. (2.38)
Следовательно, если величина <0 | 0) равна единице,
то и все остальные состояния будут нормированы на единицу.
Приводим сводку этих важных результатов:
N\n} = n\n)>, а|0> = 0,
(2.39)
а\пу = Уп\п-1), а+1 п) = Уп -)- 11 п -)- 1).
122
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
Если п раз применить оператор я+ к состоянию | 0), то, используя (2.38),
получим очень важный результат:
|я> = ^|0>. (2.40)
У п\
В дальнейшем эта формула будет нами неоднократно использована.
Из общей теории следуют ортонормированность состояний
<п' | га"> = 6"'П" (2.41)
и соотношение полноты
оо
2|п><га| = /. (2.42)
71=0
Так как эти векторы имеют конечную норму, то они образуют полный набор
базисных векторов в гильбертовом пространстве.
Для того чтобы получить матричные элементы операторов я, я+- и IV в ./V-
представлении, воспользуемся соотношениями (2.39) и (2.41). Легко видеть,
что они приводят к равенствам
(jl' | Я | 0) = 0, <"' I я | п"> = Yп" бп' п"-1 ?
(2.43)
<ji' I я+ I п"у = Yп" + 1 б"',п"+1> (п' IIV I п"у = п"ЬП'П".
Собственные значения энергии равны
Еп = Йсо + -|-j , (2.44)
где п = 0, 1, 2,...
В классической механике при измерениях энергии
можно получить для нее любое положительное значение. В квантовой же
механике эти значения энергии могут быть дискретны. При больших п (п
называется квантовым числом) дискретный характер энергии (2.44)
становится
незаметным и квантовые соотношения переходят в классические.
2.4] ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ N, а и а+ 123
2.4. Физическая интерпретация операторов N, а и а+. Бозоны и фермионы
Операторы q, р и Н имеют простой физический смысл, а именно: они являются
соответственно операторами положения, импульса и энергии. Операторы а, а+
и а+ а определялись через операторы q, р и Н, но прямого физического
смысла они не имеют.
На рис. 4 показана схема энергетических уровней квантованного
осциллятора. Каждому уровню соответ-
fiai (n+j-'r b<t}(n+4f) ha)(n-j) -
ybco -
'it:
¦ \n+1)
|/7>
\n -/>
} bcu
Рис. 4. Диаграмма энергетических уровней квантованного гармонического
осциллятора.
ствует собственное состояние оператора N. Если энергетическое состояние
осциллятора описывается кет-вектором | /г), то оно обозначается кружочком
на уровне (п + 1/2) Jm. Состояние осциллятора в этом случае определяется
величиной п и расстоянием между уровнями Н(о.
Не приводит к противоречию и другая интерпретация состояния | /г)
осциллятора. Можно считать, что гамильтониан описывает систему из п
тождественных невзаимодействующих квантов, причем все они находятся в
одинаковых динамических состояниях с энергией 7ш. Таким образом,
состояние | /г) можно интерпретировать как состояние с п квантами. Тогда
состояние | 0) не содержит квантов и называется состоянием вакуума.
124
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. XI
Строгое обоснование такой интерпретации было дано Дираком [1]. Поэтому мы
не будем обсуждать его в этой книге. Эта интерпретация представляет собой
одно из фундаментальнейших следствий квантовой теории, ибо она позволяет
объединить волновые и корпускулярные свойства света. В последнем случае
кванты называются фотонами. Значительную часть этой книги мы посвятим
изучению квантовых свойств света, особенно дуализму волна - частица.
Оператор N называется оператором числа частиц, поскольку измерение N дает
одно из его собственных значений 0, 1,..., оо, каждое из которых
рассматривается как число квантов в волне. Согласно этой интерпретации, в
одном и том же динамическом состоянии может находиться произвольное число
квантов. Частицы, обладающие таким свойством, называются бозонами. Кванты
света (фотоны), кванты упругих колебаний в кристалле (фононы), а-частицы
и некоторые другие частицы являются бозонами.
Теперь легко видеть, почему операторы а+ и а могут рассматриваться,
соответственно, как операторы рождения и уничтожения. Согласно
соотношению (2.38), если на осциллятор, находящийся в состоянии | п} с п
квантами, подействовать оператором а+, то получится состояние | п + 1> с
п + 1 квантами. Это видно из рис. 4. Следовательно, а+ является
оператором рождения (или оператором, увеличивающим число частиц).
Аналогично, согласно соотношению (2.37), если оператор а действует на
состояние | п>, то возникает состояние | п - 1> с п - 1 квантами, и
