Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Люиселл У. -> "Излучение и шумы в квантовой электронике" -> 43

Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.

Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1986. — 403 c.
Скачать (прямая ссылка): izluchenieishumivkvantovoyelektronike1986.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 122 >> Следующая

Ь+|0> = |1>, Ь+|1> = 0. (2.59)
Из соотношений (2.53), (2.58Ь), (2.58с) и (2.59) можно
найти матричные элементы операторов ft и ft+ в А-пред ставлении:
ft = ft+ =
(2.58b)
-<llftll> /N "(c) О О
<0|ft|l> i /4 О O 4/ 1 0
'<i|ft+|i> <l|ft+|0> 1 "0 г
<0|ft+|l> /\ О + л О ч/ 0 0
(2.60а)
(2.60b)
128
ПРОСТЫВ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. и
Векторы состояний могут быть представлены матрицами
0>
Г<1|0> '0 "<i|i> 1
1 /ч О О \/ ...I - 1 - |i> = <0|1>_ -. 0
(2.61)
Во второй части данной главы мы покажем, каким образом операторы спина
можно представить как операторы уничтожения и рождения фермионов.
2.5. Функция преобразования от ^-представления к ^-представлению
Задача о собственных значениях энергии осциллятора в разделе 2.3 была
решена нами в TV-представлении. В некоторых случаях полезно использовать
координатное представление. Для этого необходимо получить функцию
преобразования <q' | п}, являющуюся энергетической волновой функцией
осциллятора. Такие функции преобразования являются представителями
собственных кет-векторов | п) энергии в координатном представлении.
Функцию преобразования
ип (?') = W I ">
(2.62)
можно найти двумя способами. Первый состоит в том, что задача о
собственных значениях энергии записывается в виде
- (р2 + соад2) I п> = + 4") I (2.Щ
Если теперь уравнение (2.63) умножить скалярно на <q'\ и использовать
соотношения (1.159) и (1.160), то получим
К2 d2 2 dq'2
- Я'2) ип (?') = fuo(n + 4") un (?')• (2-64)
Таким образом, функция преобразования является решением уравнения
Шредингера (2.64). При этом предполагается, что полученное решение имеет
конечную форму,
+ ОС
т. е. что интеграл J \ип{я')\2 dq' существует. Решение
- оо
уравнения (2.64) можно найти в книге Шиффа [4].
2.5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОТ А К ^-ПРЕДСТАВЛЕНИЮ 129
Другой метод определения функции ип (q) состоит в том, что мы исходим из
соотношения (2.34)
а | 0 ) = О
и заменяем в нем оператор а на его выражение через операторы р и q с
помощью формул (2.20а). Тогда получаем соотношение
(a>q + ip) | 0> = 0.
Далее, умножая обе части этого равенства скалярно на бра-вектор (q' | и
используя соотношения (1.159) и (1.160), получим
(щ' + h2f)uo (?') = 0-Решение этого уравнения с условием нормировки
Л"о(?')|а<*?' = 1 (2.65)
-оо
принимает вид
мл-<т-(?)*", (-<?). ,2'б6)
Это и есть координатное представление состояния вакуума, называемое
другими словами волновой функцией основного состояния осциллятора.
Далее, в силу формул (2.38) и (2.20а) мы можем получить
<?'|"+ |0> = <У | (а? - ip|0> = <<7'|1>.
Отсюда, используя соотношения (1.159), (1.160) и (2.66), нетрудно
получить формулу для цг (q'):
щ ("•) = <,¦ | и = -п ip)". ("') =
= [(irfwT'1' °'!р (- 'ЭГ ?'') ¦ <2-67>
+ 00
Легко проверить, что |иг \2dq' = 1.
130
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
Аналогичным образом можно получить последовательно выражения для функций
и2, и3,... Окончательное выражение для функции ип (q') принимает тогда
вид
W I "> = ип (q') = (яу,^|)/г^п W) е_Т , (2.68)
где ___
а - Y (r)/Д
и Нп(х) - полином Эрмита порядка п. Это и есть собственные кет-векторы |
п) в координатном представлении. После того, как в следующей главе мы
глубже разработаем технику обращения с операторами, мы выведем
производящую функцию для ип (q').
2. СПИН ЭЛЕКТРОНА
2.6. Спиновый оператор Паули
Согласно общей формулировке квантовой механики, изложенной в первой
главе, с каждой наблюдаемой величиной некоторой физической системы связап
линейный эрмитов оператор. Алгебра таких операторов, содержащая правила
коммутации или антикоммутации, строится так, чтобы все результаты
согласовывались с экспериментом. В тех случаях, когда система не имеет
классического аналога, выбор соответствующих постулатов в значительной
мере является интуитивным.
Спиновый момент электрона (протона, нейтрона и др.) является
экспериментально наблюдаемой величиной, которая пе имеет классического
аналога. Все попытки объяснить спин классически потерпели неудачу. В
настоящем разделе будет изложена нерелятивистская теория спина,
принадлежащая Паули.
Электрон обладает спиновым моментом s, которому соответствует эрмитов
оператор s. Однако более удобным является оператор а, определяемый
соотношением
s = \ а. (2.69)
Спин и оператор а имеют три компоненты: сгж, сгу и сгг. Мы будем
обозначать х, у, z индексами 1, 2, 3*).
*) В некоторых случаях мы для краткости называем спином величину а.
2.G J
СПИНОВЫЙ ОПЕРАТОР 11л УЛИ
131
Следующий шаг в квантовомеханическом описании спина состоит в
постулировании коммутационных соотношений для операторов at(i = 1, 2, 3).
Для того чтобы каким-то образом обосновать введение и свойства этих
операторов, рассмотрим кратко с классической и квантовомеханической точек
зрения орбитальный угловой момент частицы.
Если г - радиус-вектор частицы относительно некоторого начала координат,
а р - ее импульс, то классический угловой момент частицы определяется
соотношением
I = [гр] (2.70а)
или, в проекциях, в виде
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed