Излучение и шумы в квантовой электронике - Люиселл У.
Скачать (прямая ссылка):
поэтому а называется оператором уничтожения (или оператором, уменьшающим
число частиц) .
Так как собственные значения оператора N следуют непосредственно из
коммутационного соотношения [а, а+] = = 1, то частицы, подчиняющиеся
этому соотношению, являются бозонами.
В природе существует другой класс частиц, которые называются фермионами и
которые обладают тем свойством, что никакие две из них не могут
находиться в одинаковом динамическом состоянии. Примерами фермионов
являются электроны, протоны и нейтроны. Фермионы подчиняются принципу
Паули, который гласит: две оди-
2.4] ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕГПРЁТАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ JV, а и а+ 125
наковые частицы не могут находиться в одном и том же динамическом
состоянии. Следовательно, фундаментальное утверждение квантовой механики
[а, а+] <= 1 непригодно для фермионов. Хотя полная теория фермионов
включает в себя теорию вторичного квантования, можно дать сверх-
упрощенный вариант этой теории, в котором квантование производится
способом, впервые предложенным Иорданом и Вигнером [4]. Этот способ
устраняет трудность, связанную с наличием многократно занятых состояний.
В теории вторичного квантования систем с единственным динамическим
состоянием также имеются операторы b и Ь+, рассматриваемые как операторы
уничтожения и рождения фермионов. Однако, в отличие от а и а+ в случае
бозонов, эти операторы никак не связаны с импульсом или координатой
фермиона. Существует также оператор N = Ь+Ь = N+, рассматриваемый как
оператор числа фермионов и связанный с гамильтонианом фермионов
соотношением
Н - ЕЪ+Ъ, (2.45а)
где Е - собственное значение энергии одного динамического состояния
системы. Иордан и Вигнер постулируют, что 6 и 6+ подчиняются
соотношениям антикоммутации
{Ь,Ь} = 0, {Ь+,Ь+} = О, (2.45Ь)
{М+} = 1, (2.46)
а не соотношениям коммутации. Антикоммутатором операторов А и В
называется оператор
{А, В} = АВ + ВА. (2.47)
Таким образом, согласно условиям (2.45) имеем
Ь" = Ъ+2 = 0. (2.48)
Найдем собственные значения оператора N. Из вы-
ражений (2.46) и (2.48) следует, что
N2 = b+bb+b = Ь+ (1 - b+b) Ъ = Ь+Ъ = N. (2.49)
Этого простого алгебраического соотношения достаточно для определения
собственных значений N. Действительно, если
N | п> = п | п>, (2.50)
126
ПРОСТЫЕ КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
то согласно соотношению (2.49) получаем уравнение вида п" | тг> = N2 | п)
= N | п) = п | п}, (2.51)
откуда следует, что
п2 = п, или п = 1; 0. (2.52)
Так как мы предполагаем, что в системе отсутствует вырождение, то
гильбертово пространство будет образовано только двумя векторами, которые
мы обозначим I 0> и | 1).
В соответствии с общей теорией собственные кет-векторы оператора N
удовлетворяют соотношениям ортонормировки и полноты, которые принимают в
нашем случае вид
<1 | 1) = <0 I 0) = 1, <1 | 0> = <0 I 1> = 0, (2.53)
| 1><1 | + |0> <0 | = /,
где
N | 1> = | 1), N | 0> = 0. (2.54)
Отсюда можно вывести матричные элементы оператора N:
N =
-<1| N 1> <1 yv|0>- 1 о
<0|iV 1) <0 yv|0>_ 0 0
(2.55)
Из соотношений (2.53) и (2.54) следует также, что
N = | 1><1 |. (2.56)
Так как собственные значения N равны 1 или 0, то состояние может быть или
занято одной частицей, или быть пустым. Последнее утверждение согласуется
с известным принципом Паули. Таким образом, предположение Иордана и
Вигнера оказывается вполне достаточным для того, чтобы обеспечить
требование, что каждое динамическое состояние может быть занято только
одной частицей.
Теперь мы должны показать, что операторы 5+ и Ъ действуют как операторы
рождения и уничтожения. Иными словами, если мы действуем на состояние |
0) оператором Ь+, то получаем состояние | 1), и, следовательно, оператор
5+ действительно является оператором рождения. Согласно условию (2.48)
Ь+2 = 0, и поэтому из наших рассмотрений автоматически исключаются
состояния
2.4] ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОПЕРАТОРОВ N, а и а+ 127
ft+2 | 0) с появлением одновременно двух частиц. Аналогично, выражение ft
| 1) дает состояние | 0) с отсутствием частиц вообще, и, следовательно,
ft является оператором уничтожения; соответственно ft2 | 1) = 0.
Для доказательства этих утверждений воспользуемся коммутационными
соотношениями между операторами ft, ft+ и N = ft+ft:
[ft, N] = ft, [й+, А] = - b+. (2.57)
Их можно вывести из соотношений (2.46) и (2.48). По форме они похожи на
соотношения (2.28) для бозонов.
Как и в случае бозонов, покажем, что оператор ft, действуя на состояние |
п},
ft | п'у = сп | 1 - п>, (2.58а)
порождает собственный кет-вектор оператора N с собственным значением 1 -
п. В противоположность случаю с бозонами, ряд на этом обрывается, так
как ft2 | п} =0
в силу соотношения (2.48). Норма этого состояния равна
<" I ft+ ft | п) = п (п | п) = |сп|2<1 - п | 1 - п). Таким образом, если
п = 0, то
ft I 0> = 0,
если же п = 1, то в силу <0|0> = 1 = <1|1)
|Cl |2 = 1.
Следовательно, при п = 1
ft | 1 > = | 0>, (2.58с)
если величину сг считать действительной. Аналогично можно показать, что
