Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
соображений тензорной размерности:
аР'уб СьЗаР^-уб У Ь^ау^рб У С^аб^Ру (^-2)
(а, b и с здесь постоянные коэффициенты), откуда
сар - <Х(5а^х/77 (Ъ Т Р}иад. (3.3)
Таким образом, упругие свойства изотропной среды характеризуются двумя
независимыми коэффициентами.
Связь между аау и иау обычно записывают в форме
(r)аР 2/Х ^XXq.^3 Т^У'ууЗаР^ У Ки^у5ар (3.4)
(закон Гука). Коэффициент /х называют модулем сдвига, коэффициент К -
модулем всестороннего сжатия. Формулу (3.4) легко обратить. Поскольку
<т77 = ЗКГхх77, (3.5)
124
Глава 3
имеем
uctf3 = g^-°77^a/3 "Т ^°а/3 gCr77(5a/3^ • (3-6)
3.4. Простые деформации
Простыми называются деформации, при которых в тензоре напряжений отлична
от нуля только одна компонента. Примером простой деформации может служить
сжатие прямоугольного бруска двумя параллельными плоскостями (рис.43).
Рис. 43. Пример простой деформации.
Пусть для определенности отлична от нуля только компонента <jzz. Тогда в
соответствии с (3.6)
uzz =
(Tz
(Tz
9 К З/л
(У 7.7. (У?-
Е
' ZZ иZZ ___
uxx=uyy = w- - = -auzz, иху = иух = uxz = uzx = uyz = uzy = О,
где, по определению,
- модуль Юнга,
Е =
9 К/л
/л + 3 К
2ц-3 КЕ_ ЗК-2[л 18Кц, ~ 2([л + ЗК)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
- коэффициент Пуассона. Для описания простых деформаций пара
коэффициентов Е и а оказывается более удобной. Сложением или вычитанием
(4.1) и (4.2) легко получаются обратные
3.5. Термодинамика деформирования
125
формулы:
1 4- ^
' Е + Е
1 2сг
Е ' Е
=* к = хГъу (4J)
Отметим, что для жидкости, если её рассматривать как упругую среду,
д = 0, К> 0, ?1 = 0, а = 1/2. (4.8)
3.5. Термодинамика деформирования
В отличие от жидкостей и газов, степень сжатия упругой среды нельзя
характеризовать скалярным давлением. Вместо давления появляется тензорная
величина аар. Соответственно изменяются выражения для термодинамических
потенциалов.
Найдем изменение внутренней энергии элемента среды при его деформации.
Для этого вычислим работу деформирующей внешней силы /:
SA = J fSudV, (5.1)
где 5и - изменение вектора смещения, а интегрирование ведется по всему
объёму среды. Будем считать, что деформация происходит медленно и в любой
момент времени внешняя сила с большой точностью уравновешена упругими
силами. Тогда
6А = - [ 5иа dV =
J дхр
[ дсга135иа Г д5иа
= -Msrdv+ Г*11 (5-2)
Изменение энергии малого элемента объёма определяется работой,
совершаемой над этим объёмом, и не зависит от деформации остальных частей
среды. Следовательно, остальную
126
Глава 3
среду можно считать бесконечной и недеформированной на бесконечности. Для
такой среды первый интеграл в правой части (5.2) зануляется, а второй
приводится к виду
Таким образом, изменение внутренней энергии единицы объёма равно
Изменение энтропии вещества при его деформации (8 s) определить сложно,
поэтому в качестве энергетической характеристики деформации удобнее
пользоваться свободной энергией
При помощи закона Гука упругую добавку к энергии можно представить в виде
полного дифференциала:
Если деформация происходит при постоянной температуре (что для медленных
деформаций обычно имеет место), то изменение свободной энергии среды
равно энергии деформации.
В отсутствие деформации энергия должна быть минимальной. Следовательно,
Заметим также, что обычно а > 0, т. е. подавляющее большинство веществ
при растяжении в одном направлении сжимается в двух других.
&а/3 / д5и,
ар / и и UfQ,
2 ^ дхр
аар 5иа1з dV. (5.3)
5е = T5s + 8А = T5s + <тар 8иар.
(5.4)
F = e - Ts, 5F =-s 5Т + аар 5иар. (5.5)
иар 8иар -
(5.6)
Таким образом, энергия деформации равна
(5.7)
/г ^ О, К ^ 0 =>¦ Е ^ 0, (т< 1/2.
(5.8)
3.6. Звук в твердом теле 127
3.6. Звук в твердом теле
Если на некоторый малый объём среды действуют неском-пенсированные
упругие силы, то этот объём будет ускоряться по закону
д2иа _ дсгар _ q Р dt2 дхр дхр
. \Jb/'у*у I
2р ( 8ар J -Ь Ки775ар
(6.1)
Поскольку
ди"Р _ 1 д (диа диА _ 1 1 ^
дхр 2 дхр дхр дха J 2 М"+ 2 " Щ
имеем
д2И 2 и
р-- = рАй + "Vdi vm-- VdivM + KVdivu = dt2 3
= pAu + + K^j VdivM. (6.3)
Вектор смещения всегда можно представить в виде
й=щ + щ, divMj = 0, rot ui = 0. (6.4)
Взяв дивергенцию уравнения (6.3), получаем уравнение на щ:
рд ^J2Ul = ^Adi?"г + (з + Adiv"b dIV {PW~ +^)ЛЙг} =°- (6'5)
Поскольку ротор выражения в фигурных скобках также равен нулю, это
выражение есть константа. Так как в отсутствие деформаций (при щ = 0)
среда находится в покое, эта константа равна нулю. Следовательно,
128
Глава 3
Мы получили волновое уравнение, описывающее распространение продольного
звука в упругой среде. Величина с; называется продольной скоростью звука.
В случае плоской монохроматической волны
rot щ = |гк х = 0 =Ф- щ || к, (6.7)
отсюда и название.
Аналогично, взяв ротор (6.3), получаем волновое уравнение для поперечного
звука:
92rotщ
Р-- = АД rot ut, (6.8)
д2Щ 2 л 2 Р /п п\
- =ctAuu ct=-, (6.9)
где ct - поперечная скорость звука. В плоской поперечной волне щ -L к.
Заметим, что в силу (5.8) всегда
