Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
ci > ct. (6.10)
3.7. Продольные колебания стержней
Скорость звуковой волны в ограниченном твердом теле может оказаться иной,
нежели в неограниченном. Покажем это на примере продольной звуковой волы
в тонком длинном стержне (рис. 44).
- ^ XX Сух (r)ZX О
вакуум , п * г к
стержень a ^
*
Рис. 44. К выводу продольных колебаний тонкого стержня.
Пусть длина волны Л намного превышает поперечный размер стержня а и на
стержень с боков не действуют внешние силы:
Сарпр = 0 на границе. (7.1)
3.8. Изгиб стержней
129
Направим ось z вдоль стержня. На границе стержня в точках, где п || х,
компоненты ахх, аух и azx тензора напряжений в силу (7.1) обращаются в
ноль. Но поскольку стержень тонкий (а А), то внутри него эти компоненты
не успевают вырасти до большой величины и их всюду можно считать малыми.
Аналогичными рассуждениями можно заключить, что внутри стержня малы все
компоненты тензора напряжений, за исключением (tzz. Таким образом,
деформацию тонкого стержня при прохождении по нему продольной волны можно
считать простой.
В случае простой деформации уравнение движения короткого участка стержня
легко преобразовать к виду
eft ?/ г)гт
PSл1~д^ = S (a^(z + Л0 - Vzz(z)) " s =
= SaIE^a =SaIE^a, (7.2) dz dz2
где p - плотность стержня, S и aI - сечение и длина рассматриваемого
кусочка (рис. 44). Из (7.2) получается волновое уравнение
d2uz _ Е d2uz
dt2 Р dz2 К '
со скоростью звука, равной ^/Е/р. Можно показать, что эта скорость звука
всегда меньше с\. Этот факт объясняется тем, что тонкий стержень при
сжатии в продольном направлении расширяется в поперечном и потому при
одинаковой степени сжатия в стержне возникают меньшие напряжения, нежели
в неограниченной среде.
3.8. Изгиб стержней
Найдем деформации и напряжения, возникающие в тонком длинном стержне при
его слабом изгибе. Стержень можно считать тонким, если его толщина а мала
с характерным масштабом изгиба А (рис.45, а). Для определенности будем
считать, что изгиб происходит в одной плоскости под действием
130 Глава 3
поперечной силы F, приложенной к одному из концов (для других способов
изгиба аналогичным способом получаются те же формулы).
Направим ось z вдоль стержня, а ось х расположим в плоскости изгиба (при
слабом изгибе различием направлений х и z в разных сечениях стержня можно
пренебречь). Рассуждениями, аналогичными проведенным в разделе 3.7, можно
заключить, что деформация изогнутого стержня будет простой (только <tzz ф
0). Более строго это утверждение получается из условий равновесия
стержня. Например, для заштрихованного участка на рис. 45, а, б имеем
Г НГ
у-момент: FL+ / azzxdS = 0 =>• azz ^-~7 (8.1)
J а
х-сила: -F+ / axzdS = 0 =>¦ <jxz ~ Щг, (8.2)
J а
где интегрирование ведется по сечению стержня, откуда
Oxz ~ < oZz- (8.3)
При рассматриваемом изгибе верхняя часть стержня растягивается, а нижняя
сжимается. Области растяжения и сжатия разделяет нейтральная поверхность;
будем отсчитывать расстояние х от нее (рис. 45, в). Участок стержня,
отстоящий на расстоянии х от нейтральной поверхности и имевший до изгиба
длину а1, вследствие изгиба удлинится на величину
dl = |-Al, (8.4)
К
где R - локальный радиус кривизны нейтральной поверхности. Отсюда находим
ненулевые компоненты тензоров деформации и напряжений:
dl X 77? X /О С\
UZZ - UXX - 'Uyy - &UZZ7 (r)ZZ - Д' (°*^/
Положение нейтральной плоскости находится из условия равновесия стержня:
?-сила: / azzdS = 0 / xdS = 0, (8.6)
3.8. Изгиб стержней
131
А " а
a
Рис. 45. Геометрия задачи об изгибе стержня (а); к оценке axz (б); к
вычислению деформации стержня (в); положение нейтральной поверхности при
различной ориентации стержня (г).
т. е. нейтральная плоскость проходит через центр тяжести сечения (рис.
45, г).
Изгиб стержня как целого удобно описывать координатой X(Z) его
нейтральной поверхности в некоторой "внешней" системе (X, Y, Z) с осью Z,
направленной вдоль стержня (рис. 45, в). Обозначая дифференцирование по Z
штрихом, для слабого изгиба имеем
1 = -X"(Z), uzz = -хХ", azz = -ExX". (8.7)
Формулы (8.7) легко обобщаются на случай трехмерного изгиба:
uzz = -хХ" - yY", azz = -ExX" - EyY", (8.8)
где координаты х и у отсчитываются, соответственно, в на-
132
Глава 3
правлениях X и Y от линии, проходящей по центру тяжести сечения
(нейтральной линии).
Как видно из (8.1), способность стержня сопротивляться изгибу
характеризуется моментом упругих сил. Найдем эту величину. По определению
момента силы,
Мх = JyazzdS = -EIxyX"-EIyyY",
Му = - J x(TzzdS = EIxxX" + EIxyY",
где
Iap = j rarpdS (8.11)
- тензор "момента инерции" сечения. Если направление осей X и Y совпадает
с направлением главных осей сечения, то выражения для моментов
упрощаются:
Мх = -EIyyY", Му = ,.V". (8.12)
Из формул (8.9)-(8.12) ясно, почему для упрочнения стержней их профиль
делается сложным (рис. 45, г): чтобы при заданной площади сечения
получить больший момент инерции.
3.9. Поперечные колебания стержней
Пусть теперь стержень не находится в равновесии и может колебаться в
