Физика сплошных сред - Лотов К.В.
ISBN 5-93972-111-7
Скачать (прямая ссылка):
поперечном направлении. Найдем закон малых поперечных колебаний в
плоскости (Y,Z) (рис. 46,а). Будем считать, что на стержень с боков не
действует внешняя сила. Тогда уравнение движения малого элемента стержня
примет вид
pSaI^§ = F(! + a!)-F(1), (9.1)
где S - площадь сечения, р - плотность стержня, а1 - длина
рассматриваемого кусочка, I - координата, отсчитываемая
(8.9)
(8.10)
3.9. Поперечные колебания стержней
133
вдоль стержня, F - полная упругая сила, действующая в поперечном сечении
"справа налево" (рис. 46, а). Переходя к бесконечно малым а1, получаем
dF 0д2й /о 9ч
эг = pS ж' т)
Рис. 46. Геометрия задачи о поперечных колебаниях стержня (а);
действующие в сечении стержня силы (б); к нахождению производной
df/dl (в).
Силу F можно разложить на продольную и поперечную компоненты:
F = Fl{+F±, (9.3)
где
F± = п J ayzdS, ,F|| = т J uzzdS = Тт, (9.4)
а пи г - единичные векторы в направлениях нейтральной линии и нормали к
ней соответственно (рис. 46, б). Величина Т (натяжение стержня) не
зависит от I, поскольку в противном случае нескомпенсированная продольная
сила вызвала бы продольное движение стержня. Будем считать натяжение
стержня заданным.
134
Глава 3
Заметим, что сила F появляется вследствие отличия деформации от простой и
наличия ненулевой тянущей силы. Оба эти эффекта являются в каком-то
смысле малыми по сравнению с действием продольных напряжений, создающих
момент упругих сил:
Fl <
<7zz\a
\Т\
Поэтому в предыдущем разделе мы пренебрегали силой F и считали деформацию
простой. Сейчас же нашей целью является анализ более тонких эффектов,
поэтому мы учитываем малую силу F и малое отличие направлений вектора т и
оси Z.
Обозначим М{Г) момент упругих сил (8.9), (8.10), действующих "справа
налево" в заданном сечении стержня (рис. 46, б). Поскольку при малых
поперечных колебаниях движение элемента стержня с большой точностью
является поступательным, полный момент сил (например, относительно точки
О), приложенных к рассматриваемому кусочку, должен равняться нулю:
М{1 + а/) - М(1) + |TAl х F(l + аЩ = 0,
f+M=0,
(9.6)
откуда
д2М 812
df л - dF
_di х + тхж
0.
(9.7)
Для вычисления производной df/dl замечаем, что при смещении вдоль стержня
на величину dl вектор т изменяется на величину dr || п (рис. 46, в). Из
геометрии следует, что
R
dr
М
dr
dl
R
дт
dl
n_
R'
(9.8)
Подставляя (8.9), (9.8) и (9.2) в ж-компоненту (9.8) и замечая, что
uy=Y, ^ = Y", (9.9)
3.9. Поперечные колебания стержней
135
получаем
pS^ = TY" - EIyyY(9.10)
В случае бесконечного стержня уравнением (9.10) допускается непрерывный
спектр волн с дисперсионным соотношением
pSuj2 = Tk2 + Elyyk4. (9.11)
а б в
Рис. 47. Концы стержней.
В случае стержня конечной длины спектр колебаний будет дискретным и
зависящим от граничных условий на концах. Так как уравнение (9.10) -
четвертого порядка по Z, то нужно четыре граничных условия (по два на
каждом конце), например,
заделанный конец (рис. 47, a): Y = О, Y' = 0; (9.12)
шарнир (рис. 47, б): Y = 0, Y" = 0; (9.13)
свободный конец (рис. 47, в): Y" = 0, Y'" = 0. (9.14)
Условия на вторые производные в (9.13) и (9.14) получаются из равенства
нулю момента упругих сил (8.9) на конце. Условие на третью производную
следует, в соответствии с (9.6), из отсутствия упругой силы F на
свободном конце.
Приложение
Дифференциальные операторы в цилиндрических координатах
Градиент:
(vn (Vf) (Vf)
[w;)r~dr' [y;)v~rd[p' [w;)z~dz'
Дивергенция:
Ротор:
^*"4 4 // 1^0 *~ч
' ar r dip oz
rot Д)
' а(/Р az
^ 9ЛГ 9Дг
Г0,Д"= иг - иг
I д , А л 1 дАг
Лапласиан скаляра:
1 9 (rdf\ , 1 92/ , 92/
r dr \ dr ) г2 д^р2 dz2 '
3.9. Поперечные колебания стержней 137
Лапласиан вектора:
(аа) = Д.4. - 2 дА' Л'
Г
2
др
2 дАг а,
-|-
(д^)г = Д4.
(дл) = ДЛ, + -^ ^
\ / (р f
2 dip г2
Компоненты (AV)B:
дВг . Av дВг , " дВг AVBV
(/ л*т-!\ т^\ ,4 U±Jr -А-ф UJDr . UJDr
({АЧ)В) + -?-?+А,
/. -\ . дВш Av dBv dBv AvBr
[{А^В)гАт-р + -А-А + А^
, т*_. . dBz Av QBZ . dBz
^B)rA^ + ^W + A^-
Дивергенция тензора:
г ч I 1 dTzr _ Tipip
rr) r dip dz r '
4,1 &TVV dTZLp Tvr
Tip) + r dp dz r '
л , i dTvz dTzz
9Та/3' \ _ 1 _9_
dxa / r 9r
/ r
dTaP \ = IaL
dxa , 1 r dr
/ ip
9Ta/3N \ 1 d
dxa j r dr Z
r
dp dz
Дифференциальные операторы в сферических координатах
Градиент:
(vfl =9f , л 1 д? 1 df
(V^)r 9r, (v/)e r90, (Vf)v rsin6ia
138
Дивергенция:
Глава 3
div А = \^-{r2Ar) + -Ц-J-(sin в Ав) + 1
г2 Or г sm 0 00 г sin 0 Oip
Ротор:
( *¦ л'\ 1 д , ¦ а л ч 1 дАв
rot Л = -- - (sin 0AV) ,
\ Jr г sin 0 061 rsm0 dip
TOtA)" rsin6i d(p r3r(rif).
, л \ \ д / л \ 1 дЛ.г
Г К ~ Y'dr ~ V~dO~'
Лапласиан скаляра:
д/=и (Г*Щ + 1 а ивт + 1 g!z
J r2dr\ drJ^r2smOde\ двJ ^ r2 s[n2e dip2'
Лапласиан вектора:
2Ar 2 дАв 2ctg 0Ae 2 dAv
AA) =AAr-
(ДД)^ = AAe +
^2 ^2 QQ ^2 ^2 Q
2 dAr Aq 2 cos 0 dAv
дл| = aau>-
r2 дв r2 sin20 r2 sin20 dtp
Av , 2 ЭЛГ , 2 cos0 9Д0
V r2 sin20 r2sin0 r2sin20 dip
3.9. Поперечные колебания стержней 139
Компоненты (AV)B:
