Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
многочлена в виде суммы квадратов; см. Carlitz [5], 18], I3J, [19], [26],
[27J, [116], Carlitz, Cohen [2], Cohen H. II], ^1" Joly 12], Leahey [1],
Stevens, Kuty 11], Verner 111, [2] н vvebb (2]. О представлениях
квадратичными формами см. Саг-htz [54] и Carlitz, Cohen [3], а об
одновременных представлениях КваДратичнымн и линейными формами см.
Carlitz 194]. Суммы
178
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
степеней с полиномиальными коэффициентами рассматривали в статьях
Carlitz, Cohen [1 ] н Cohen Е. [3], [4]. О более общ формах см. Carlitz
[32] и Cohen Е. [4], [6]. Проблемы адднтивн теории чисел в кольце Fg [х]
рассматривались в работах Са litz [48] и Cherly [1], [21, [3].
Функции Фд (см. лемму 3.69) и Цд (см. упр. 3.75) являют частными
примерами арифметических функций на множес Fg [*К Такого рода функции
систематически' изучались Ка лицом (Carlitz [1], [2], 13], [26], [28],
[30], [36]); что же касает функции Фд, то она рассматривалась еще
Дедекиндом (Ded kind [1 ]). Аналог функции Фд для многочленов от
нескольких пер менных был изучен Коэном (Cohen S. D. [4]). Дальнейшие
резул таты об арифметических функциях получены в работах Carlitz [14],
[19], [20], Carlitz, Cohen [1], 12], Cohen E. [3], [6], hen S. D. [3],
[4], Dress [1 ], Rhin [3], Shader [1 ], [4] и Silva Об абстрактном
подходе см. Knopfmacher [1], [2]. Аналог д кольца Fg [х] понятия
совершенного числа изучался в стать Beard [6], Beard, Bullock, Harbin
[1], Beard, Doyle, Mand berg [1 ], Beard, Harbin [Пи Beard, O'Connell,
West [1 ]. О су ш делителей многочлена над F2 см. Canaday [1]. В статье
Job sen [2] изучаются методы решета а кольце Fg Ы. Связь ме арифметикой a
Fg U] и современной алгебраической геометр появляется в работе Goss [3].
Квадратичный закон взаимности нормированных неприводимых многочленов над
простым коц ным полем Fp доказал Дедекинд (Dedekind [1 ]), другое его до
зательство дал Артин (Artin [13); см. также Vaidyanathaswamy [i Высший
закон взаимности для неприводимых многочленов произвольным конечным полем
Fg был установлен К (Ktihne [1]) и еще раз доказан Шмидтом (Schmidt F. К*
и Карлицом (Carlitz [13, [2], [4]); см. также Ore [6], Pockll ton [2],
Schwarz [2] и Whiteman 11 ]. Полиномиальные сравне изучались в работах
Carlitz [7], [8], [9], [10], [11], [17] henE. [5], Rao К. N. [1], [2],
[3], Shader [2], [3] и ской [2].
Карлиц (Carlitz [7 ]) начал изучение функции фт (?) ~ П ( - /(*)), где
произведение берется по всем многочленам f (х) над* степени, меньшей чем
т. Это изучение было продолжено работ Carlitz [10], 119], [20], 131] и
Wagner [1]. О приложениях ких функций см. Bundschuh [2], Carlitz [119],
Geijsel [1], W
[1], [2], [3] и Wagner [2], [3]. В статье Carlitz [18] вво;
полиномиальные аналоги круговых многочленов, а в статье litz [23] -
аналоги многочленов Бернулли для конечных па Теорема типа теоремы фои
Штаудта для таких многочленов доказана Карлицом (Carlitz [24 ]), она
обобщает его же резульТ из статей Carlitz [16], [22]; см. также Carlitz
[25], Dickey, ries, Shank [1], Goss [1], [2] и Herget [1], [2].
Комментарии
179
В работе Carlitz [31] показано, что многочлены / С Fg Ы. обладающие для
всех а С Fg свойством / (х + а) = / (х), имеют
вид / М - Е сь № - *)*> рДе ck С Fg; см. также Dodunekov [2 ].
k
Обобщения на случай нескольких переменных представлены в статье Carlitz
[119]. В статье Mullen 113] для фиксированных а С FJ и b С Fg дается
характеризация многочленов / С Fg Ы. обладающих свойством f (Ьх -f а) -
bf (х) + а; случай b = 1 уже рассматривался раньше в работе Wells [6].
Вагнер (Wagner 12]) на кольце Fq 1х) определяет такие линейные операторы
L, что L (f -г g) = L (/) (mod g) для всех /, g С F, [х].
Б статье Shehadeh [1] определяется наибольшее возможное число
последовательных нулей или единиц и их распределение среди коэффициентов
некоторых многочленов иад |р2, таких, как многочлен (х" - 1)// (х), где /
(х) - примитивный многочлен над Р2 степени k н п = 2k - 1.
Понятие равномерного распределения для последовательностей многочленов
над конечными полями было введено в статье Hodges [23]. Дальнейшие работы
на эту тему: Dijksma [1], [2 3, [3], [4], Hodges [26], [27], Kuipers [2],
Kuipers, Scheelbeek [!L Meijer, Dijksma [1] и Webb [4]. Равномерное
распределение
m
в поле рядов Лорана 2 ctx1 над было введено Карлицом
t-~ao
(Carlitz [33]) и далее изучалось в работах de Mathan [1], [2],
[3], Dijksma [2], [3], [41, Hodges [27], Kuipers [l],Long, Webb [13,
Meijer, Dijksma fl ], Rhin 11 ], [2], [3] и Webb [4]. Изложение этих
результатов можно найти в книге Kuipers, Niederreiter U, ch. 5]. Близкие
результаты по диофантовым приближениям в поле рядов Лорана иад конечным
полем содержатся в статьях Bateman, Duquette [1 ], Carlitz [32], [33],
Deshouillers [1],
[2], [3], Dubois, Paysan-Le Roux [1], Grandet-Hugot [1], [21 и
Houndonougbo [2].
В работе Kustaanheimo, Qvist [1] построен аналог комплексного анализа для
