Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Лидл Р. -> "Конечные поля. Том 1" -> 81

Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.

Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. Том 1 — М.: Мир, 1988. — 430 c.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка): konechniepolya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 371 >> Следующая

поля F2m, иад F2 нечетно, если нечетно число т.)
3.78. Доказать, что еслн г - простое чнсло и а ? Fg, то либо дву хг - а
неприводим в кольце Fg [х], либо он имеет корень в поле Fg. 3
Упражнения
185
3*79. Доказать, что если г - нечетное простое чнсло, л ? N и а ? Fff,
то многочлен хгП ~~ а неприводим в кольце 1*1 тогда и только тогда, когда
элемент а не является г-н степенью элемента из F?.
3.80. Найтн каноническое разложение над указанными простыми полями
следующих двучленов:
(a) f (*) - х8 4- 1 6 ЕР" 1*1;
(b) f (х) = х27 - 4 ? ЕРis [*1;
(С) / (JC) = - 10 € F,. 1*1.
3.81. Доказать, что в условиях теоремы 3.76 корни введенного там
многочлена F (*) просты.
3.82. Доказать, что результант двух двучленов хт - а и хп - b в кольце
f [х] задается выражением (- \)т {bm^d -an-d)d% где d - НОД (т, я). Здесь
т ил рассматриваются как формальные степени этих двучленов (ср. с
определением 1.93).
3.83. Пусть b - ненулевой элемент из простого поля Fp. Доказать, что
трехчлен хр - х - Ь неприводим в кольце F^n [х 1 тогда н только тогда,
когда п не делится на р.
3.84. Доказать, что любой трехчлен вяда х$ - ax - b ? F? [х] при а Ф 1
имеет корень в поле F^.
3.85. Доказать такое предложение: если трехчлен х?- х - а неприводим над
полем характеристики р н р - корень этого трехчлена в некотором
расширении поля Fffl то трехчлен хр - х - afip~l неприводим иад полем
F?(P).
3.86. Доказать следующее предложение: еслн f (х) = хт + ctm_1xm~l + ...
... f аи - неприводимый многочлен над полем F^ характеристики р и b -
такой
элемент из F?, что Tfj, (mb -
ttm-i) ~~ 0, то многочлен f {хр - х - b) разлагается в произведение р
неприводимых сомножителей над Fff степени т.
3.87. Доказать, что еслн тир - различные простые числа н число р по
т-I
модулю т принадлежит показателю т - 1, то многочлен J] - х)1 ие-
приводим над полем Fp.
3.88. Найти каноническое разложение над указанными полями следующих
многочленов:
(a) / (х) - х9 - ах - 1 ? Fe4 U1, где а удовлетворяет равенству ots =
~ j ¦
(b) / (х) ~ хч - ах - а ? F6 [х], где а удовлетворяет равенству а2 (tm) а +
1*
3.89. Пусть А {х) - L {х) - а ? F^ [х] - аффинный р-многочлен степени г >
2 н L (х) - такой р-многочлен над F?, что многочлен L (х)!х неприводим
над полем F^. Доказать, что А (х) является произведением линейного
многочлена н неприводимого многочлена иад F^ степени г - 1.
3.90. Доказать, что трехчлен хп + axk -f~ b ? Fff 1*1, п > k ^ 1, при
четном числе д имеет кратные корни в том и только том случае, если оба
числа п и к гоже четны.
3.91. Доказать, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена Д2 т
г + 1 в кольце F2 [*3 делнт чнсло 2п.
3.92. Доказать, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена i f
1 в кольце F2 [*3 делнт число Зя.
3.93. Доказать, что еслн f ? EF2 1*1 - самовозвратный многочлен (см. УПР-
3.13) положительной степени, то он делит некоторый трехчлен нз Fa UJ лишь
в том случае, еслн ord (/) делится на 3. Доказать также, что обратное
утверждение справедливо, еслн многочлен f неприводим над полем F8.
\Жт
186 Гл. 3. Многочлены над конечными полямн ill
-------------------------------------------------------------------------
-.............. ."Д
\1<СССССС
3.94. Доказать, что еслн d ? N - нечетное число, то круговой много Qd €
U3 делнт некоторый трехчлен нз F2 U3 тогда и только тогда, ко^|||
I?'
Кратно Трем. ;|||
3.95. Пусть f (я) - хп + axk + ? € Fg U3, л > & > 1, и пусть ч " т (= N
кратно ord (f). Доказать, что f (х) делит трехчлен g (х) = хт"с|§ +
b~[xn~k + ab~\ If
3.96. Доказать, что трехчлен х2п хп + 1 неприводим над полем F2 т
н только тогда, когда п = для некоторого целого неотрицательного
чнслщ
3.97. Доказать, что трехчлен хАп + хп + 1 неприводим над полем Fg
Ж ..'У V.,SSM
и только тогда, когда п - 3 5т для некоторых целых неотрицательных
чнсеЩ|| н т. ¦ Щр
Глава 4
Разложение многочленов на множители
Любой непостоянный многочлен над заданным полем можно разложить в
произведение неприводимых многочленов. Если рассматриваемое поле конечно,
то для фактического вычисления неприводимых сомножителей данного
многочлена положительной степени над этим полем существуют весьма
эффективные алгоритмы
Наличие таких алгоритмов для многочленов над конечными полями особенно
важно для теории кодирования и для изучения линейных рекуррентных
соотношений в конечных полях. Но и вне области конечных нолей в алгебре и
теории чисел имеется много вычислительных задач, которые так или иначе
связаны с разложением многочленов над конечными полями. В этой связи
можно упомянуть, например, разложение на множители многочленов над
кольцом целых чисел, отыскание разложений простых рациональных чисел в
полях алгебраических чисел, вычисление группы Галуа некоторого уравнения
над полем рациональных чисел и построение расширений полей.
Здесь будет изложено несколько алгоритмов разложения многочленов над
конечными полями. Выбор конкретного алгоритма обычно зависит от того,
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 371 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed