Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
3.21, Пусть натуральное чнело т не является простым. Доказать, что не
каждый нормированный неприводимый многочлен над полем Fq степени т
является примитивным многочленом над Fg-
3 22- Пусть тп - простое число- Доказать, что вес нормированные
неприводимые многочлены иад полем Fq степени т примитивны йад (Г^ в том и
только
том случае, если q ~ 2 к число 2т 1 простое.
3.23, Пусть / примитивный многочлен над полем lr д. Доказать, что
/ my-if* 1. тоже примитивный многочлен иад Fg,
3.24, Доказать, что самовозвратными .(см. упр. 3.13) примитивными
многочленами над Fa являются лишь многочлены х -(- 1 и х(r) -(- х 1, а иад
Fa лишь
многочлен х -f 1. " , , ,
3.25, Доказать, что если многочлен / (х) неприводим в кольце Fg [xl, то
многочлен / {их **{" &) тоже неприводим и If ^ fx] для любых о, о ? ^ ^
0.
,126. Доказать, что Nq (л) < (1/л) {qn - <?), причем равенство имеет
место тогда и только тогда, когда л - простое число {Nq (л) число
нормированных неприводимых многочленов степени л в Fg [х]),
3.27. Доказать, что
ЛГ,(Л)Si Д-Яп~ "(/_]) (""/2-0.
3.28. Дать строгое доказательство того, что из (3.5) вытекает (3.4).
3.29. Доказать, что функция Мёбиуса ц для всех натуральных взаимно
простых чисел шил удовлетворяет условию ц (глл) - ц (ш) ц (л).
3.30. Доказать, что для всех натуральных чисел л имеет место равенство
2 ц (4) _ <р(л) d л *
if I п
82
л. 3. Многочлены над конечными полями
<Г~У 1 У~"*ГТ|~1~ГГ|-|-|-|-Г| Inr...............-- ¦M-iL ,*1 |-Xil
xi • • i ,
••••.Л
if
%¦*?#!
3.31, Доказать, что для каждого четкого целого числа я *>
? Mrf) 4 (d) - 0.
d f n
Щ
. isjrX
"i-.C 5 .?•*
M
713
3.32. Доказать равенство У! |u (d) j - 2й, где k - число различных
ewli W
d | n
стыx делителей натурального числа п.
3.33. Доказать, что число Nq{n) из упр. 3.26 делится на eq, если п 75# е
- некоторый делитель числа q - ! и НОД {eq, "} " 1,
3.34. Применяя явную формулу ид теоремы 3,27, найтн круговые много*!
члены Qn и Qm< * .. Д
3.35. Применяя явную (формулу из теоремы 3,27, доказать свойства (a)-yj
(1) кругового многочлена пн упр, 2,57.
3,3В. 71,оказать, что круговой многочлен Qn неприводим над полем Fg opt
условии, что НОД {qf я} - I, в том и только том случае, когда показатель
рому .принадлежит' q по модулю п, равен ?.р |я),
*3,37. Пусть круговой многочлен Qa неприводим над полем F2. Доказать, ч л
должно быть либо простым числом, сравнимым с ±3 по модулю 8, либо с пенью
такого числа. Показать также, что это условие не является достаточным. '
f Л.38. Доказать, что круговой многочлен Qn неприводим над каждым
конечным полем, над которым он определен. 4|
3,39, Пусть я ? N. Доказать такое утверждение; для того чтобы существен!
вяло целое число 6, взаимно простое слн принадлежащее по модулю п поктёщ
телю <р in), {.необходимо г: достаточно, чтобы п было одним нз чисел 1,
2, 4,
млн 2 рг, где р - нечетное простое число иг f IN,
3.49. Теорема Дирихле о простых числах; в арифметической прогрес€Е|;|
утверждает" что любая целочисленная арифметическая прогрессия Ь, Ь 4- tt,
,Д| ,Ь kn, .... где b ? Z, п С- ^ и ПОД (ft. л) = 1, содержит бесконечйОГ
много простых чисел, Д
Применить эту теорему для доказательства следующего предложения; eciflg
для натурального числа я существует конечное поле if,,, такое, что НОД
{q, п)
~= 1 и круговой мшл'очден Qn неприводим над Fg, то число я может
принншТ||
лишь следующие значения: 1. 2, 4, // или 2рг, где р нечетное простое
и г f К,
3.41. Доказать, что круговые многочлены Qw и Q31 над полем F2
одну н ту же степень и неприводимы над Fa,
3.42. Пусть Тq - конечное поле, е > 1, НОД (щ q) - Г и m - показ
гель, которому принадлежит число $ но модулю е. Доказать, что произведен^
всех нормированных неприводимых многочленов степени m я порядка я нз Fg
I# является круговым многочленом СД над Fg.
3.43. Найти разложение многочлена х32 - х m неприводимые сомножитед в
кольце F2 [х].
3.44. Вычислить многочлен I (2, 6; х) по формуле из теоремы 3,29.
3.45. Вычислить .многочлен / (2, 6; х) по формуле из теоремы 3.31,
3.46. Доказать, что
••
'Ш
. V,
I (q, п; х)~- П (х* - l)M(n^ для я> L.
d I ft
ГЙ.^5
3.47. Доказать, что над конечным полем нечетного порядка q многочле^
(| 4. х{ч+')гг 4- (1 -
"Щ • * *•>.
являете?! квадратом некоторого многочлена.
Л.48, Найти в кольце ly fx) все неприводимые многочлены степени 6 |
порядка 21, а также степени 294 и порядка 1029.
Упражнения
183
3.49. Найти в кольце F3 [х] все нормированные неприводимые многочлены
степени 3 и порядка 26, а также степени 6 и порядка 104.
3.50. Тем же способом, что и в примере 3.41, выяснить, какие из
многочленов ft неприводимы в кольце Fy [х] для случая q - 5,
тп - 4, е - 78.
3.51. В обозначениях примера 3.41 доказать, что если t - такое
простое
число, что i - 1 делит число m - 1, то многочлен ft неприводим в кольце
Г3 [х]
3.52. В обозначениях примера 3.41 для данного неприводимого многочлена /
(ж) = х? - + х + 1 иад полем F3 найти матричным способом многочлены ft
